西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第十章 反常积分 10.3瑕积分的性质与收敛判别

10.3瑕积分的性 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 Cauch收敛原理 段f()只们一个奇点x=b,则有 义积分[f(x)k收敛令→ 6>0,3δ≥0.使对V7,n’∈(0δ)有 b-7 f(x)dx s b-n

10.3瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果

瑕积分的性质 性质1 若/与的瑕点同为x=a,kk为任意常数则 当瑕积分|f(x)与f2(x)b都收敛时 瑕积分[k(x)+k(x)b也收敛,且 k,f(x)+k2f2(x)ldx=k f(x)dx+k,I f2(x)dx 性质2 若/的瑕点为x=a,c∈(a,b)为任意常数 则瑕积分f()与。(x)同敛态,且 f(x)dx= f(x)dx+ f(xddx

一 . 瑕积分的性质 性质１ 1 2 ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx 当瑕积分  与 都收敛时 1 1 2 2 [ ( ) ( )] , b a k f x k f x dx + 瑕积分 也收敛 且 b 1 1 2 2 1 1 2 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) . b b a a a k f x k f x dx k f x dx k f x dx + = +    性质２ 若f x a a b 的瑕点为 =  ，c ( , )为任意常数 c ( ) ( ) , b a a f x dx f x dx 则瑕积分  与 同敛态 且 ( ) ( ) ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx = +    2 1 1 2 若f f x a k k 与 的瑕点同为 = ， , 为任意常数则

性质3 若函数的瑕点为=af在(ab的任一内闭区间 Lb上可积当(x)收敛时, f(x)bx必收敛,且 /(x)dresS, i(x)kdx 注当/(x)收敛时解广3为绝对收敛 性质3说明绝对收敛的级数自身一定收敛.但自身收敛的级数 不一定绝对收敛 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛

性质３ [ , ] ( ) a u b f x dx + 上可积  . 则当 收敛时， ( ) , a f x dx  b 必收敛 且 ( ) ( ) . b b a a f x dx f x dx    注 ( ) ( ) . b b a a f x dx f x dx 当  收敛时 称 为绝对收敛 性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛． 若函数f x a f a b 的瑕点为 = ， 在( , ]的任一内闭区间

二,无穷积分收敛的判别法 1柯西准则 瑕积分。f(x)k(a为瑕点败敛的充要条件是 VE>0,36>0,只要1、v2∈(a,a+0),便有 f(x)dx<8

二. 无穷积分收敛的判别法 ( ) : ( ) b a f x dx a 瑕积分 为瑕点收敛的充要条件是      +    0, 0, , , 只要u u a a 1 2 ､ ( ) 便有 ( ) . 2 1    u u f x dx １.柯西准则

2,比较原则 设定义在(a,b上的两个函数/和g,瑕点同为x=a都在 任何区间[u,b]c(ab上可积且满足 S/收敛呗[(x)收敛 x)≤g(x)2x∈(a,b 若(x)发散g(x)d发散 推论又若(x) >0.且 f(x C,则有 )当0<c<+时谢(x)与(x)同敛态 (n)当=O时皓若g(x)d收敛刎(x)收敛 (1)当c=+时若[g(x)发散(x)发散

２，比较原则 ( ) ( ) ; b b a a g x dx f x dx 若  收敛 则 收敛 ( ) ( ) . b b a a f x dx g x dx 若  发散 则 发散 推论 ( ) 0 ( ) ( ) ; b b a a i c f x dx g x dx   + 当 时   与 同敛态 又若 g x( ) 0,  且 ( ) lim x a ( ) f x c g x → + = ，则有 ( ) 0 ( ) ( ) ; b b a a ii c g x dx f x dx = 当 时 若  收敛 则 收敛 ( ) ( ) ( ) . b b a a iii c g x dx f x dx = + 当 时 若  发散 则 发散   ( , ] , ( , ] a b f g x a a b =  设定义在 上的两个函数 和 瑕点同为 都在 任何区间 u,b 上可积且满足 f x g x x a b ( ) ( ), ( , ]  

3.柯西判别法 设/定义在(a,ba为瑕点且在任何区间bc(ab上可积 则当f(x) 且0<p时,(x)收敛 n-a 当f(x)≥ 且≥时,f(x)x发散 x-a 推设定义于(列为瑕点)且在任何区间ab=(ab上 论可积若1im(x-a)2f(x)= x→a 则()当0<<10≤A<+时,/(x)收敛 ()当210<≤+时,(x)发散

３.柯西判别法 设f a b a u b a b 定义在( , ]( ) [ , ] ( , ] 为瑕点 且在任何区间  上可积, lim ( ) ( ) . p x a x a f x  → + − = 1 ( ) , 1 ( ) ; ( ) b p a f x p f x dx x a  − 则 当 且  0＜ ＜时, 收敛 1 ( ) , 1 ( ) . ( ) b p a f x p f x dx x a   − 当 且 时  , 发散 推 论 设f a b a u b a b 定义于( , ] [ , ] , ( 为瑕点)，且在任何区间  ( 上 可积,若 ( ) 1,0 , ( ) ; b a i p f x dx   +  则 当  0＜ ＜ 时 收敛 ( ) 1,0 , ( ) . b a ii p f x dx    +  当 时  发散

阿贝尔判别法 设瑕积 a,mf(x)r收 例1 例2

例 1 例 2

狄利克雷判别法 没瑕积分有一的眼 点,Ja+n (x)dx是的有 I/ f(e)de= s Mg 00<9):b-cL 于 则润分)则时收

A-D判别法 若下列两个条件之一满足,都有 f(x)g(x)收敛 (1)(Abel判别法)「f(x)收敛,g(x)在 [a,b)上单调有界; (2)( Dirichlet判别法)F(m)=f(x)t 在[ab)上有界,g(x)在[a,b)上单调且 lim g(x)=o x→b

dx 例3判别广义积分 的收敛性 1 Inx 解被积函数在点x=1的左邻域内无界 由洛必达法则知 lim(x-1) =lim2=1>0, x→1+0 lnxx-÷1+0 1x 根据可惜判别法极限形式所给广义积分发散

例3 . ln 3 1 判别广义积分  的收敛性 x dx 解 被积函数在点 x = 1的左邻域内无界． 由洛必达法则知 x x x x x 1 1 lim ln 1 lim ( 1) →1+0 →1+0 − = = 1  0, 根据可惜判别法极限形式,所给广义积分发散