西安石油大学理学院：《数学模型与数学实验》课程教学资源（习题解答）第五章 微分方程模型

第五章 部分习题 1.对于5.1节传染病的SIR模型,证明 (1)若S>1/,则1()先增加,在S=1/σ处最大,然后减少并趋于零:s()单调减少 至 (2)若S>1/a,则()单调减少并趋于零,S()单调减少至S2 9.在56节人口的预测和控制模型中,总和生育率()和生育模式(:)是两种控制人口 增长的手段,试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育,及 生育第2胎的一些规定,可以怎样通过这两种手段加以实施。 16.建立铅球掷远模型,不考虑阻力,设铅球初速度为v,出手高度为h出手角度为∂(与 地面夹角),建立投掷距离与v,h,O的关系式,并在v,h一定的条件下求最佳出手角度。 参考答案 1.SR模型(14)式可写作=n(o-1)=-1由后一方程知,当<s<8时:,b0.1()增加:当s=时, 0,1()达到最大 值ln:当<时,<01()减少且=0(8试式) 1 di 2)若S0< 0d0,()单调减少至零 9.一对夫妻只生一个孩子,即总和生育率()=1:晚婚晚育相当于生育模式h(r)中(5。 6节(13)式)使r和r增大;生育第2胎一些规定可相当于B()略高于1,且H(r)曲线(5 6节图19)扁平一些(规定生2胎要间隔多少年) *16.在图中坐标下铅球运动方程为

第五章 部分习题 1. 对于 5.1 节传染病的 SIR 模型，证明： （1）若 s0 1/ ，则 i(t) 先增加，在 s =1/ 处最大，然后减少并趋于零； s(t) 单调减少 至  s 。 （2）若 s0 1/ ，则 i(t) 单调减少并趋于零， s(t) 单调减少至  s 。 9. 在 5.6 节人口的预测和控制模型中，总和生育率 (t) 和生育模式 h(r,t) 是两种控制人口 增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及 生育第 2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。 *16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为 v ，出手高度为 h 出手角度为  （与 地面夹角），建立投掷距离与 v, h, 的关系式，并在 v, h 一定的条件下求最佳出手角度。 参考答案 1. SIR 模型（14）式可写作 ( 1), si. dt di i s dt di =   − = − 由后一方程知 s(t) dt ds  0, 单调减少。 1) 若  1 s0  ，当 0 1  s  s  时， i(t) dt di  0, 增加；当  1 s = 时， i(t) dt di = 0, 达到最大 值 m i ；当  1 s  时， i(t) dt di  0, 减少且 = 0((18)式)  i 2) 若  1 s0  ， i(t) dt di  0, 单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率 (t) =1 ；晚婚晚育相当于生育模式 h(r) 中（5。 6 节（13）式）使 1 r 和 c r 增大；生育第 2 胎一些规定可相当于 (t) 略高于 1，且 h(r) 曲线（5。 6 节图 19）扁平一些（规定生 2 胎要间隔多少年） *16. 在图中坐标下铅球运动方程为

x=0,y=-8,x(0)=0y10)=h,O)=cosa,yO)=sma解出x(),y()后,可 以求得铅球掷远为 R 2h sin a cos a+ in a+ v cos a,这个关系还可表为 Rg=2v2 cos a(h+Rtan 由此计算 dala·=0,得最佳出手角度a'=sn-- 和最佳成绩 R'=√m2+2gh设h=1.5m,v=10m/s,则a‘≈4149,R'=114m g

 x  = 0,  y  = −g, x(0) = 0, y(0) = h, x (0) = vcos, y (0) = vsin. 解出 x(t)，y(t) 后，可 以求得铅球掷远为 cos , 2 sin cos sin 1/ 2 2 2 2 2    v  g h g v g v R         = + + 这个关系还可表为 2 cos ( tan) 2 2 2 R g = v h + R 由此计算 * = 0  d dR ，得最佳出手角度 (v gh) v + = − 2 * 1 2  sin ，和最佳成绩 v gh g v R 2 * 2 = + 设 h =1.5m，v =10m/s ，则 * 0   41.4 ， R 11.4m * =