西安石油大学理学院：《数学模型与数学实验》课程教学资源（习题解答）第一章 建立数学模型

第一章 部分习题 3(5).决定十字路口黄灯亮的时间长度 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中,将四角的连线呈正方形改为长 方形,其余不变,试构造模型并求解 5.模仿14节商人过河问题中的状态转移模型,作下面这个众所周知的智力游戏:人带着猫、 鸡、米过河,船除希望要人计划之外,至多能载猫、鸡、米三者之一,而当人不在场时猫要 吃鸡、鸡要吃米,设计一个安全过河方案,并使渡河次数尽量地少 6.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型: (1)分段的指数增长模型.将时间分为若干段,分别确定增长率r (2)阻滞增长模型.换一种方法确定固有增长率r和最大容量xm 7.说明15节中 Logistic模型(9)可以表示为x()= 1+e(-,其中是人口增长出现 拐点的时刻,并说明t与r,xm的关系 8.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为x(t),t到t△t时间内人口的增量与 xrm-x(t)成正比(其中为xm最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型 阻滞增长模型的结果进行比较 9(3).甲乙两站之间有电车相通,每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻不一定相 同。甲乙之间一中间站丙,某人每天在随机的时刻到达丙站,并搭乘最先经过丙站的那趟车, 结果发现100天中约有90天到达甲站,约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙 站的时刻表是如何安排的 参考答案 3(5).司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离s1,设通过十字路口的距离为s2,汽车行驶 速度为ν,则黄灯的时间长度【应使距停车线S1之内的汽车能通过路口,即 十S 其中s1可由试验得到,或按照牛顿第二定律解运动方程,进一步可考察不同车重、不同路 面及司机反应灵敏程度等因素的影响 4.相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(O)和g(O),将椅子旋转180°,其余作法与13 节相同 5.人、猫、鸡、米分别记为i=1,2,3,4,当i在此岸时记x1=1,否则记x,=0,则此岸的

第一章 部分习题 3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度. 4. 在 1.3 节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长 方形，其余不变，试构造模型并求解. 5. 模仿 1.4 节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、 鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要 吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少. 6. 利用 1.5 节表 1 和表 3 给出的 1790-2000 年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率 r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率 r 和最大容量 xm . 7. 说明 1.5 节中 Logistic 模型（9）可以表示为 ( ) ( ) 0 1 r t t m e x x t − − + = ，其中 t0 是人口增长出现 拐点的时刻，并说明 t0 与 r，xm的关系. 8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻 t 的人口为 x(t)，t 到 t+△t 时间内人口的增量与 xm-x(t)成正比（其中为 xm最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、 阻滞增长模型的结果进行比较. 9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔 10 分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相 同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车， 结果发现 100 天中约有 90 天到达甲站，约有 10 天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙 站的时刻表是如何安排的。 参考答案 3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离 1 s ，设通过十字路口的距离为 2 s ，汽车行驶 速度为 v ，则黄灯的时间长度 t 应使距停车线 1 s 之内的汽车能通过路口，即 ( ) v s s t 1 + 2  其中 s1 可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路 面及司机反应灵敏程度等因素的影响. 4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为 f ()和g() ，将椅子旋转  180 ，其余作法与 1.3 节相同. 5. 人、猫、鸡、米分别记为 i = 1,2,3,4 ，当 i 在此岸时记 xi = 1 ，否则记 xi = 0 ，则此岸的

状态可用s=(x,x2,x3,x)表示。记s的反状态为s=(-x,1-x21-x31-x4),允许状 态集合为S={10(.0.1)(0.1)(10.10}及他们的5个反状态 决策为乘船方案,记作d=(u1l2,u2,u4),当在船上时记l1=1,否则记1=0,允许决 策集合为D=1100)(10.10)001)(000) 记第k次渡河前此岸的状态为s,第k次渡河的决策为dk,则状态转移律为 SA4=S4+(-1)d4,设计安全过河方案归结为求决策序列d1,d2…,dn∈D,使状态 S∈S按状态转移律由初始状态s=(1经n步达到sn=(0000)。一个可行的方案 如下 2 4 s40u11)1(010)010n)010o)0110)00)0010)(000 d0.01o)0000000)00.o)0.00)0000(010) 6(1).分段的指数增长模型 根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段 1790年至1880年平均年增长率2.83% 1890年至1960年平均年增长率1.53% 1970年至2000年平均年增长率1.12% 三段模型为(1790年为t=0,1880年为t=1,…) x1(t)=3.90283,t=0,1,",10 x(t)=x1(10)c015310),t=11,1,",18 x(t)=x2(18)e11010,t=19,20,,22 6(2).阻滞增长模型 可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r,取某些专家的估计400 百万为最大容量xm,以1790年的实际人口为x0,模型为1.5节的9式 以上两个模型的计算结果见下表 17901800181018201830184018501860 实际人叫3,9 5.3 612917 23231.4 模型(113.9 5.2 6.9 9.1 12.1 16.1 21.3283 模型(2395270941261672229.3 (续表)

状态可用 ( ) 1 2 3 4 s = x , x , x , x 表示。记 s 的反状态为 ( ) 1 2 3 4 ' s = 1− x ,1− x ,1− x ,1− x ，允许状 态集合为 S = (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0) 及他们的 5 个反状态 决策为乘船方案，记作 ( ) 1 2 3 4 d = u ,u ,u ,u ，当 i 在船上时记 ui = 1 ，否则记 ui = 0 ，允许决 策集合为 D = (1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0) 记第 k 次渡河前此岸的状态为 k s ，第 k 次渡河的决策为 k d ，则状态转移律为 ( ) k k sk+1 = sk + −1 d ，设计安全过河方案归结为求决策序列 , , , , d1 d2  dn  D ，使状态 sk  S 按状态转移律由初始状态 (1,1,1,1) s1 = 经 n 步达到 (0,0,0,0) sn+1 = 。一个可行的方案 如下： 6(1). 分段的指数增长模型 根据 1.5 节表 3 中的增长率将时间分为三段： 1790 年至 1880 年平均年增长率 2.83%； 1890 年至 1960 年平均年增长率 1.53%； 1970 年至 2000 年平均年增长率 1.12% . 三段模型为（1790 年为 t=0，1880 年为 t=1， ⋯ ） x1(t)=3.9e0.283t ，t=0,1, ⋯,10 x2(t)=x1(10) e0.153(t-10) ，t=11,12, ⋯,18 x3(t)= x2(18) e0112(t-18) ，t=19,20, ⋯,22 6(2). 阻滞增长模型 可以用实际增长率数据中前 5 个的平均值作为固有增长率 r，取某些专家的估计 400 百万为最大容量 xm，以 1790 年的实际人口为 x0，模型为 1.5 节的(9)式。 以上两个模型的计算结果见下表： 年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 实际人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 模型（1） 3.9 5.2 6.9 9.1 12.1 16.1 21.3 28.3 模型（2） 3.9 5.2 7.0 9.4 12.6 16.7 22.2 29.3 （续表） k 1 2 3 4 5 6 7 8 k s (1,1,1,1) (0,1,0,1) (1,1,0,1) (0,1,0,0) (1,1,1,0) (0,0,1,0) (1,0,1,0) (0,0,0,0) k d (1,0,1,0) (1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,1,0,0) (1,0,0,0) (1,0,1,0)

年18701880189019001910192019301940 实际人口38650262.97609201065123.2131.7 模型(1)37.549.866117708971046121.91420 模型(2)38449964181.210131241149.01749 (续表) 195019601970198019902000 实际人口150.7179.32040226.525142814 模型(1)|1655192.922425428213145 模型(2)|2009225.824862687289300.1 注意到t=t时x=,立即可得 x(1) 且=h二互,x()=,3 =r(xm-x), dt 其中r为比例系数。解上述初值问题得: 如下图中实线所示: x/2 当t充分大时,它与 Logistic模型相近

年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 实际人口 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 模型（1） 37.5 49.8 66.1 77.0 89.7 104.6 121.9 142.0 模型（2） 38.4 49.9 64.1 81.2 101.3 124.1 149.0 174.9 （续表） 年 1950 1960 1970 1980 1990 2000 实际人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 模型（1） 165.5 192.9 224.7 251.4 281.2 314.5 模型（2） 200.9 225.8 248.6 268.7 285.9 300.1 7. 注意到 t=t0 时 2 m x x = , 立即可得 x t x x x e m m rt ( ) ( ) = + − − 1 1 0 ， 且 0 0 0 ln 1 x x x r t m − = ， ( ) ( ) 0 1 r t t m e x x t − − + = . 8. ( ) (0) , , 0 x x r x x dt dx m = = − 其中 r 为比例系数。解上述初值问题得: ( ) ( ) rt m m x t x x x e − = − − 0 ， 如下图中实线所示： 当 t 充分大时，它与 Logistic 模型相近。 xm t x 0 x0 xm/2

9(3) 不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是: 8:00,8:10,820,…, 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是 8:09,8:19,8:29

9(3). 不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是： 8:00, 8:10, 8:20, ⋯, 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是： 8:09, 8:19, 8:29, ⋯