西安石油大学：《数学分析 Mathematical Analysis》课程教学资源（PPT课件）第十二章 傅立叶级数 12.1傅立叶级数

第十二章 12.1傅立叶级

第十二章 傅立叶级数 12.1 傅立叶级数 12.2 正弦级数与余弦级数 12.3 以 为周期的函数的展开式 12.4 收敛定理的证明

12.1傅立 问题的提出 角级数三角函数系的正交性 、函数展开成傅里叶级数

12.1 傅立叶级数 一、问题的提出 二、三角级数 三角函数系的正交性 三、函数展开成傅里叶级数

问题的提出 非正弦周期函数:矩形波m(0)=1,当-≤<0 1,当0≤t<兀 不同频率正弦波逐个叠加 41 4 sint sin 3t sin 5t sin 7t T 丌3 丌5 T

一、问题的提出 非正弦周期函数:矩形波 o t u −  1 −1       − −    = t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 不同频率正弦波逐个叠加 sin7 , 7 4 1 sin5 , 5 4 1 sin3 , 3 4 1 sin , 4 t t t  t      

sint T

u sint 4  =

(sint sin 3t) 3

sin3 ) 3 1 (sin 4 u t + t  =

u=-(sint+sin 3t+=sin 5t) 3 5 0.5 t 2 1

sin5 ) 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t  =

u=-(sint sin 3t+sin 5t+-sin7t) 3 5 7 0.5 1

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t  =

u=-(sint +sin 3t+-sin 5t+=sin 7t+sin 9t) 3 u(t)=(sint +sin 3t+-sin 5t+=sin 7t +.. (一π<t<π,t≠0)

sin7 ) 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 ( ) + + + +  u t = t t t t (−  t  ,t  0) sin9 ) 9 1 sin7 7 1 sin5 5 1 sin3 3 1 (sin 4 u t + t + t + t + t  =

角级数三角函数系的正交性 1.三角级数 f()=A0+∑A,sin(not+qn)谐波分析 Ao+2(A sin (, cos not+ A, cOS (P, sin not) n=1 A 0=Ao, (n= A, sin p m, b,= A, cos (n, ot=x, 2 +∑( a cos n+ b sinn)三角级数 2 n=1

二、三角级数 三角函数系的正交性 = +   +   =1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A n t 1.三角级数 谐波分析 = +    +    =1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A n t A n t +  +  =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a , 2 0 0 A a 令 = sin , n An n a =  cos , n An n b =  t = x, 三角级数

2.三角函数系的正交性 三角函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,… cos nx, sInn,… 正交: 任意两个不同函数在|-,上的积分等于零 ∫ cos ndx=0, sinned=o (n=1,2,3,)

2.三角函数系的正交性 1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx,  [ , ] . : 任意两个不同函数在 上的积分等于零 正交 −  cos = 0, −   nxdx sin = 0, −   nxdx 三角函数系 (n = 1,2,3, )