《电路》课程教学资源（A）习题解答_第8章 相量法

第8章相量法 8-1 将下列复数化为极坐标形式： (1)E=-5-j5;(2)F=-4+j3:(3)F=20+j40 (4)F=j10:(5)F=-3:(6)F=2.78-j9.20。 解：(1)F=-5-j5=a∠0 a=V(-5)2+(-5)2=5√2 0=arctan-3-135(因F在第三象限) -5 故E的极坐标形式为E=5√2∠-135 (2)F,=-4+j3=V(-4)2+32∠arctan(3/-4)=5∠143.13°(F,在第二象限) (3)F=20+j40=V202+402∠arctan(40/20)=44.72∠63.43 (4)F=10j=10∠90 (5)F,=-3=3∠480 (6)F。=2.78-j9.20=√2.782+9.202∠arctan(-9.20/2.78)=9.61∠-73.19° 注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即 F=a,+ja2=a∠0=ae,它们相互转换的关系为： a=va+a 0=arctand 和 a=acos a =asin 需要指出的，在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限，它关系到0的取值及实部a,和 虚部a,的正负。 8-2 将下列复数化为代数形式： (1)F=10∠-73°：(2)F2=15∠112.6：(3)F=1.2∠152°：

第 8 章 相量法 8－1 将下列复数化为极坐标形式： （1） F1 = −5− j5 ；（2） F2 = −4 + j3 ；（3） F3 = 20 + j40 ； （4） F4 = j10 ；（5） F5 = −3 ；（6） F6 = 2.78 − j9.20 。 解：（1） F1 = −5− j5 = a  ( 5) ( 5) 5 2 2 2 a = − + − =  135 5 5 arctan = − − −  = (因 F1 在第三象限) 故 F1 的极坐标形式为  F1 = 5 2 −135 （2）  4 3 ( 4) 3 arctan(3 4) 5 143.13 2 2 F2 = − + j = − +  − =  （ F2 在第二象限） （3）  20 40 20 40 arctan( 40 20) 44.72 63.43 2 2 F3 = + j = +  =  （4）  F4 =10 j =1090 （5）  F5 = −3 = 3180 （6）  2.78 9.20 2.78 9.20 arctan( 9.20 2.78) 9.61 73.19 2 2 F6 = − j = +  − =  − 注 ： 一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即   j F = a + ja = a = ae 1 2 ,它们相互转换的关系为： 2 2 2 a = a1 + a 1 2 arctan a a  = 和 a1 = acos a2 = asin  需要指出的，在转换过程中要注意 F 在复平面上所在的象限，它关系到  的取值及实部 1 a 和 虚部 2 a 的正负。 8－2 将下列复数化为代数形式： （1）  F1 = 10 − 73 ；（2）  F2 =15112.6 ；（3）  F3 = 1.2152 ；

(4)F=10∠-90°：(5)F=5∠-180°：(6)F=10∠-135°. 解：(1)F=10∠-73°=10×c0s(-73°)+10×sim(-73)=2.92-j9.56 (2)F=15∠112.6°=15cos112.6°+15sin112.6°=-5.76+j13.85 (3)F3=1.2∠152°=1.2cos152°+1.2sin152°=-1.06+j0.56 (4)F=10∠-90°=-j10 (5)F=5∠-180°=-5 (6)F=10∠-135°=10cos(-135)+10sim(-135)=-7.07-j7.07 8-3 若100∠0°+A∠60°=175∠p。求A和0。 解：原式=100+Acos60°+jasm60°=175cosp+175simo根据复数相等的定义，应有实 部和实部相等，即 4cos60°+100=175cosp 虚部和虚部相等 Asin60°=175sinp 把以上两式相加，得等式 A2+100A-20625=0 解得 A=-100±V1002+4x20625 「102.07 2 1-202.069 所以 sin p=4sin 60 102.07x3 175 175 2=0.505 p=30.34 8-4 求8-1题中的F2·F6和F/F6。 解：F×F6=(-4+j3)×(2.78+j9.20)=5∠143.13°×9.61∠73.19° =48.05∠216.32°=48.05∠-143.68°

（4）  F4 =10 − 90 ；（5）  F1 = 5 −180 ；（6）  F1 =10−135 。 解：（1） F1 =10− 73 =10cos(−73 ) + j10sin( −73 ) = 2.92 − j9.56    （2） F2 =15112.6 =15cos112.6 +15sin 112.6 = −5.76 + j13.85    （3） F3 = 1.2152 = 1.2cos152 +1.2sin 152 = −1.06 + j0.56    （4） F4 =10 − 90 = − j10  （5） 1 = 5 −180 = −5  F （6） F1 =10−135 =10cos(−135 ) +10sin( −135 ) = −7.07 − j7.07    8－3 若 1000 + 60 =175   A 。求 A 和  。 解：原式=100 + Acos60 + jasin 60 =175cos + j175sin    根据复数相等的定义，应有实 部和实部相等，即 cos60 +100 =175cos  A 虚部和虚部相等 sin 60 =175sin   A 把以上两式相加，得等式 100 20625 0 2 A + A − = 解得    − = −  +  = 202.069 102.07 2 100 100 4 20625 2 A 所以 0.505 175 2 3 102.07 175 sin 60 sin =  = = A    = 30.34 8－4 求 8－1 题中的 F2  F6 和 F2 F6。 解：   F2  F6 = (−4 + j3)(2.78+ j9.20) = 5143.13 9.6173.19   = 48.05216.32 = 48.05 −143.68

-4+j35∠143.13° F/F6=278+920961273.19 =0.52∠69.94° 8-5 求8-2题中的E+F、-F+F和E/E 解： F+F=10∠-73°+5∠-180 =10cos(-73)+j10sim-73)-5=-2.08-j9.56=9.78∠-102.27 -F+Fs=-10∠-73°+5∠-180°=-10c0s(-73)-j10sim(-73°)-5=-14.56+j9.56 RR- =2∠-73°+180°=2∠107 8-6 己知F1=F1川∠60°，F2=-7.07-j7.07,求F1+F2最小时的F1。 解： F2=-7.07-j7.07=10∠-135 F+F2=F∠60°+10∠-135°=F∠p 同除以1∠60°，F+10∠165°=F∠p-60°，展开 F+10cos165+j10sin165=F cos(-60)+jFsin(-60) 其中实部F+10cos165°=Fc0s(p-60) 虚部10sin165°=Fsin(p-60) F最小时，sin(p-60)最大，p=150°此时 sim(p-60)=1,|F=10sin165°=2.59 1El=Fcos(p-60)-10c0s165°=9.66 F=Fl∠60°=9.66∠60° 8-7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为U,=50∠30V,U2=-100∠-150V,其频率f=100Hz。求： (1)4、42的时域形式：(2)山，与山2的相位差

   0.52 69.94 9.61 73.19 5 143.13 2.78 9.20 4 3 2 6 =    = + − + = j j F F 8－5 求 8－2 题中的 F1 + F5、− F1 + F5 和 F1 F5 。 解：   F1 + F5 =10− 73 + 5−180 =10cos(−73 ) + 10sin( −73 ) − 5   j  = −2.08 − j9.56 = 9.78−102.27   − F1 + F5 = −10 − 73 + 5 − 180 = −10cos(−73 ) − 10sin(−73 ) − 5   j = −14.56 + j9.56      2 73 180 2 107 5 180 10 73 1 5 =  − + =   −  − F F = 8－6 已知 F1=|F1|∠60º，F2= -7.07-j7.07，求|F1+F2|最小时的 F1。 解：  F2 = −7.07 − j7.07 = 10 − 135 + = 60 + 10 −135 F1 F2 F1 = F  同除以 1∠60º， + 10165 =  − 60 F1 F  ，展开 10cos165 10sin165 cos( 60 ) sin( 60 ) 1 F +  + j  = F  −  + j F  −  其中实部 10cos165 cos( 60 ) 1 F +  = F  −  虚部 10sin165 = F sin( − 60) |F|最小时， sin( − 60) 最大，  = 150 此时 sin( − 60) = 1, F = 10sin165 = 2.59 = cos( − 60) −10cos165 F1 F  =9.66 = 60 1 1 F |F | = 9.6660 8-7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为 U  1 = 5030V ，U  2 = −100−150V ，其频率 f = 100Hz 。求： （1） 1 u 、 2 u 的时域形式；（2） 1 u 与 2 u 的相位差

解：(1)4()=50W2cos(2π+30°）=502cos(628+30°）Ψ 4(t)=-100N2cos(2πf-150）=100W2cos(6281-150°+180°）=100W2cos(6281+30°)V (2)U=50∠30°，U2=100∠30°V故相位差为0=0，即两者同相位。 8-7 若己知两个同频正弦电压的相量分别为，=50∠30°V,02=-100∠-150°V,其频率 ∫=100止。求： (1)写出4,4，的时域形式；(2)4与山，的相位差。 (1)4()=50V2cos(21+30)=50√2cos(6281+30°)V 4,()=-100W2cos(2-150)=100N2c0s(6281-150°=180°)W =100√2cos(6281+30°)W (2)因为0=50∠30°V,02=-100∠-150°V=100∠30°V 故相位差为p=30°-30°=0°，即4与4，同相位。 8-8 8-8 已知一段电路的电压、电流为：1=10sim1031-20°)Ψ，i=2c0s1031-50)A 画出它们的波形图和向量图：(2)求出它们的相量差。 解：(1)u=10sin(103t-20)=10cos(103t-110°)Ψ，故u和i的相量分别为 0-84-ov1后-04 其波形和相量图见题解图(a)和图(b)所示

解：(1) u t ft t V 1 ( ) = + = + 50 2 cos 2 30 50 2 cos 628 30 (  ) ( ) o o o u t ft t t V 2 ( ) = − − = − + = + 100 2 cos 2 150 100 2 cos 628 150 180 100 2 cos 628 30 (  ) ( ) ( ) o o o o (2) . 1 U =  50 30o ， . 2 U V =  100 30o 故相位差为  = 0 ，即两者同相位。 8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为 U V   1 = 5030 U V   , 2 = −100−150 ，其频率 f =100Hz 。求： （1）写出 1 u ， 2 u 的时域形式；（2） 1 u 与 2 u 的相位差。 （1） u1 (t) 50 2 cos(2 ft 30 ) 50 2 cos(628t 30 )V   =  + = + u2 (t) 100 2 cos(2 ft 150 ) 100 2 cos(628t 150 180 )V    = −  − = − = 100 2 cos(628t 30 )V  = + （2）因为 U V   1 = 5030 U V V    , 2 = −100−150 =10030 故相位差为     = 30 −30 = 0 ，即 1 u 与 2 u 同相位。 8－8 8－8 已知一段电路的电压、电流为： u 10sin(10 t 20 )V 3  = − ，i 2cos(10 t 50 )A 3  = − 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。 解：（1） u 10sin(10 t 20 ) 10cos(10 t 110 )V 3  3  = − = − ，故 u 和 i 的相量分别为 U V   110 2 10 =  − I A   50 2 2 =  − 其波形和相量图见题解图(a)和图（b）所示

CA) u() 110 10 a ) 题解8-9图 (2)相位差9=9。-9=-110°-(-50°)=-60°，说明电压落后于电流60°。 8-9 己知图示三个电压源的电压分别为： 4=220W2cos(om+10)Y,4。=2202coso-110°)W，4.=2202c0s(o+130°)V, 求：(1)3个电压的和：(2)4h,山c:(3)画出它们的相量图。 4(a) b u6)' u(c) 题解8-10图 解：山。，山。，4的相量为 0。=220∠10°V 0。=220∠-110y 0.=220∠130°V (1)应用相量法有 0。+0。+0.=220∠10°+220∠-110°+220∠130° =0 即三个电压的和4)+4，(0+4.(0=0 (2)0=0。-0。=220∠10°-220∠-110°

题解 8－9 图 （2）相位差     =  u − i = −110 − (−50 ) = −60 ，说明电压落后于电流  60 。 8－9 已知图示三个电压源的电压分别为： ua 220 2 cos( t 10 )V  =  + ，ub 220 2 cos( t 110 )V  =  − ，uc 220 2 cos( t 130 )V  =  + ， 求：（1）3 个电压的和；（2） uab ubc , ；（3）画出它们的相量图。 题解 8－10 图 解： a u ， b u ， c u 的相量为 Ua V   = 22010 Ub V   = 220 −110 Uc V   = 220130 （1）应用相量法有       Ua +Ub +Uc = 22010 + 220 −110 + 220130 = 0 即三个电压的和 ua (t) + ub (t) + uc (t) = 0 （2）      Uab = Ua −Ub = 22010 − 220 −110

=2205∠40V 0=0。-0。=220∠-110°-220∠130 =220W3∠-80V (3)相量图如题解8一10图所示。 0。 题解8-10图 8-10 已知图(a)中电压表读数为V1=30V,V2=60V:图(b)中的V1=15V,V2=80V,V3=100V, (电压表的读数为正弦电压的有效值。)求图中电压U5。 R (a) 8 题8-11图 解法一： 元件 相量关系 有效值关系相位关系 相量图 电阻R Ug=Rig 0.=0 电感L U=jX i U=jX i 0.=0+90 ↑0z 由容C Uc =-jXcic Uc=Xclc 0=0-90 图：设回路中电流i=1∠0°，根据元件的电压、电流相量关系，可得

V  = 220 340      Ubc = Ub −Uc = 220 −110 − 220130 V  = 220 3 −80 （3）相量图如题解 8－10 图所示。 题解 8－10 图 8－10 已知图（a）中电压表读数为 V1=30V，V2=60V；图（b）中的 V1=15V，V2=80V，V3=100V， （电压表的读数为正弦电压的有效值。）求图中电压 US。 题 8－11 图 解法一： 元件 相量关系 有效值关系 相位关系 相量图 电阻 R R R U RI   = UR = RI R  u =  i 电感 L L L L U jX I  =  U jX I L L =   = + 90  u  i 电容 C C C C U jX I   = − C C C U = X I  = − 90  u  i 图：设回路中电流   I = I0 ，根据元件的电压、电流相量关系，可得

0。=Ri=∠0°=30∠0V U.=jXi=X,1∠90°=60∠90V 则总电压 0、=0。+0,=30+j60Ψ 所以4，的有效值为U,=V302+60=67.08 图：设回路中电流相量i=1∠0°A,因为 U。=Ri=∠0°=15∠0°V 0,=X,i=X,1∠90°=80∠907 0e=-jXci=Xc1∠-90°=100∠-90°V 所以总电压 0s=0。+0,+0c=15+j80-100j=15-j20P 故4，的有效值为U,=32+202-25 解法二：利用相量图求解。设电流i=1∠0°为参考相量，电阻电压心。与i同相位， 电感电压0，超前i90°，电容电压0要滞后i90°，总电压0，与各元件电压向量构成一直角 三角形。题解8-1l图(a)和(b)为对应原图(a)和(b)的相量图。由题解图(a)可得 U,=VU6+U=302+602=67.08Ψ 由题解图(b)可得 U,=U6+(Uc-U.)=152+100-80)7=258 ↑0， 0 0 8 题解8-11图 注：这一题的求解说明，R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如 下表所示)是我

UR RI RI V     = = 0 = 300 UL jXL I XL I V     = = 90 = 6090 则总电压 U  S = U  R +U  L = 30 + j60V 所以 s u 的有效值为 US 30 60 67.08V 2 2 = + = 图：设回路中电流相量 I I A   = 0 ，因为 UR RI RI V     = = 0 =150 UL jXL I XL I V     = = 90 = 8090 UC jX C I X C I V     = − =  − 90 = 100 − 90 所以总电压 U  S = U  R +U  L +U  C = 15 + j80 −100 j = 15 − j20V 故 s u 的有效值为 US 13 20 25V 2 2 = + = 解法二： 利用相量图求解。设电流   I = I0 为参考相量，电阻电压 UR  与 I  同相位， 电感电压 UL  超前 I   90 ，电容电压 Uc  要滞后 I   90 ，总电压 Us  与各元件电压向量构成一直角 三角形。题解 8-11 图（a）和（b）为对应原图（a）和（b）的相量图。由题解图（a）可得 US UR UL 30 60 67.08V 2 2 2 2 = + = + = 由题解图（b）可得 US UR (UC UL ) 15 (100 80) 258V 2 2 2 2 = + − = + − = 题解 8－11 图 注：这一题的求解说明，R，L，C 元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如 下表所示）是我

们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。 8-11 己知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为A:5A;A,:20A:4:25A。求：(1)图 中电流表A的读数：(2)如果维持A,的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A 的读数。 R ④ 题8-12图 解法一： (1)R,C并联，设元件的电压为 0R=0,=0c=0=U∠0 根据元件电压、电流的相量关系，可得 -X。名20=25z90=254 应用LC的相量形式，总电流相量为 i=jR+1,+ic=5-j20+j25=5+j5=52∠45°A 故总电流表的读数@=1=5√2=7.07A (2)设0R=U,=0。=U=U∠0 当电流的频率提指信后，由于-员-只5w4不变.所0，-0不化，而-2以州 大一倍，名。C减小一倍，因此。有 0

们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。 8－11 已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为 A1 : 5A ； A2 : 20A ； A3 : 25A 。求：（1）图 中电流表 A 的读数；（2）如果维持 A1 的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表 A 的读数。 题 8－12 图 解法一： （1）R，L，C 并联，设元件的电压为      UR == UL = UC = U = U0 根据元件电压、电流的相量关系，可得 A R U R U I R    = = = 50 A j A X U jX U I L L L = =  − 90 = − 20    j A X U jX U I C C C = 90 = 2590 = 25 − =     应用 KLC 的相量形式，总电流相量为 I I R I L IC j j j A      = + + = 5− 20 + 25 = 5+ 5 = 5 245 故总电流表的读数 = I = 5 2 = 7.07A （2）设      UR == UL = UC = U = U0 当电流的频率提高一倍后，由于 A R U R U I R    = = = 50 不变，所以 U  R = U  不变，而 XL = 2L 增 大一倍， C X C 2 1 = 减小一倍，因此，有 = = =  20 2 1 j2 L U jX U I L L    

=00 -=2×25∠90°=50∠90°A 1 所以 i=ig+i,+ic=5-j10+j50=5+j40 即，电流表的读数 A=V52+402=40.31A ict nt。-) 0 题解8-12图 解法二：利用相量图求解。设0=U∠0°=0。=U,=Uc为参考向量，根据元件电压、 电流的相位关系知，i,和0同相位，ic超前90°，i,滞后心90°，相量图如题解8一12图所 示，总电流i与i。,c和i,组成一个直角三角形。故电流表的读数为 ④=+4c-1)A 即(1)@=52+(25-20)2=7.07A (2)④=52+(25-10)2=40.31A 注：从8一11题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是首先要选好一个 参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路中其它电压、电流相量，根据电路的 具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系。最后根据相量图 中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选电流作参考方向较方便，如8一11题。 对并联电路，则选电压作参考相量较方便，如8一12题。有些问题通过相量图分析将很直观 和简便。 8- 对RL串联电路作如下2次测量：(1)端口加90V直流电压(o=0)时，输入电流为3A: (2)端口加∫=50压的正弦电压90V时，输入电流为1.8A。求R和L的值

A c j U jX U I C C      2 25 90 50 90 2 1 =   =  − = − =  所以 I = I R + I L + IC = 5 − j10 + j50 = 5 + j40     即，电流表的读数 A 5 40 40.31A 2 2 = + = 题解 8－12 图 解法二： 利用相量图求解。设 U U UR UL     = 0 = = UC =  为参考向量，根据元件电压、 电流的相位关系知， R I  和 U  同相位， C I  超前  90 ， L I  滞后 U   90 ，相量图如题解 8－12 图所 示，总电流 I  与 R I  ， C I  和 L I  组成一个直角三角形。故电流表的读数为 I R IC I L A 2 2 = + ( − ) 即 （1） 5 (25 20) 7.07A 2 2 = + − = （2） 5 (25 10) 40.31A 2 2 = + − = 注：从 8－11 题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是首先要选好一个 参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路中其它电压、电流相量，根据电路的 具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系。最后根据相量图 中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选电流作参考方向较方便，如 8－11 题。 对并联电路，则选电压作参考相量较方便，如 8－12 题。有些问题通过相量图分析将很直观 和简便。 8－ 对 RL 串联电路作如下 2 次测量：（1）端口加 90V 直流电压（  = 0 ）时，输入电流为 3A； （2）端口加 f = 50Hz 的正弦电压 90V 时，输入电流为 1.8A。求 R 和 L 的值

题解8-13图 解：由题意画电路如题解8一13图所示。 (1)当4.为90V直流电压时，电感L看作短路，则电阻 R=兰-9=30m (2)当u.为90V交流电压时，设电流i=1∠0°=1.8∠0°A,根据相量法，有 0、=Ri+X,i=30×1.8+jX,×1.8 故 U、=90=1.8×V302+X X-9-0-40m 根据X=,解料1-各-务品-02 8-13 某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述4种情况时，它可能是什么元件？ (1)=10c0s101+45°z [u=10sin100)）V (2) i=2sin101+135)A i=2cos(1001)A [u=-10costV (4) u=10cos(3141+45°) (3) i=-sin tA i=2cos(3141)A 解：(1)把电流变为余弦形式有i=2cos101+135°-90°)=2cos101+45)A,u和i的相 量为 0=9<45, i2 2 ∠45A 则 0 =5∠0°2 即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系可知这是一个52的电阻元件

题解 8－13 图 解：由题意画电路如题解 8－13 图所示。 （1）当 s u 为 90V 直流电压时，电感 L 看作短路，则电阻 = = = 30 3 90 i u R s （2）当 s u 为 90V 交流电压时，设电流 I I A    = 0 = 1.80 ，根据相量法，有 US = RI + jXL I = 301.8 + jXL 1.8    故 2 2 US = 90 = 1.8 30 + X L = ) − 30 = 40 1.8 90 ( 2 2 XL 根据 XL =L ，解得 H f X X L L L 0.127 100 40 2 = = = =    8－13 某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述 4 种情况时，它可能是什么元件？ （1）    = + = + i t A u t V 2sin(10 135 ) 10cos(10 45 )   （2）    = = i t A u t V 2cos(100 ) 10sin(100 ) （3）    = − = − i tA u tV sin 10cos （4）    = = + i t A u t V 2cos(314 ) 10cos(314 45 )  解：（1）把电流变为余弦形式有 i 2cos(10t 135 90 ) 2cos(10t 45 )A    = + − = + ，u 和 i 的相 量为 U V   45 2 10 =  ， I A   45 2 2 =  则 =      5 0 I U 即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系 可知这是一个 5 的电阻元件