北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第四章 矩阵（4.5）矩阵的分块

第五节短阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算,经常采用分块法,使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算具体做法是:将 矩阵A用若千条纵线和横线分成许多个小 矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

第五节 矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A

例A= 10b1 BBB B 即 B

, 321   = BBB   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例   A = a 1 0 0 1 0 1 0 0 0 b a 0 1 1 b   = B 1 B 2 B 3 即

0a00(C1C A= 10b1 3 0 a100 0a00(C1C, 2 10b

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2       = C C C C       =               A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即

0010 1a01 00 ■■■■■■■ AE 其中妞 B 0 0010 1a01 0 =(A1A2A3A1 其中A

,      = E B A O ( ), = A1 A2 A3 A4               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0       = a a A 0 1 其中       = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O               = 0 1 0 1 a 其中A               = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4

、分块矩阵的运算规则 (1)设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用 相同的分块法,有 B Ir A B B B SI 其中4与B的行数相同列数相同那末 A,+B, 11 11 A,.+B 1 4+B A,+B,n…A+Bx

( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B     二、分块矩阵的运算规则           =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1

(2)设A= 为数那末 a4, 41r MA 4 s1 MA 例元=2,A=321 1×22×23×2 2A=3×22×21×2|=642 4×25×26×2)(81012

(2)设 , 为数,那末 1 1 1 1            = s sr r A A A A A     . 1 1 1 1           = s sr r A A A A A          例 .           = 4 5 6 3 2 1 1 2 3  = 2, A 2 2 2 2 2 2 2 2 2                    = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6           =

(3)设为m×矩阵B为×n矩阵分块成 Bu B B 其中A1,A2,…,A的列数分别等孑B,B2,…,B 的行数那末 11 AB s1 其中Cn=∑ABb(=1,…,s;j=1,…,) k=1

(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai2  Ai t B1 j B2 j  Bt j           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

(4)设 则 (5)设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子 块都是方阵

( ) 块都是方阵 即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 5 . , , A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 T As1 T A1r . 11           = T sr T T A A A     则

其中A1(=1,2,…s)都是方阵,那末称A为分块 对角矩阵. 分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

, 2 1               = As A A A  O O ( ) . 1,2, , 对角矩阵 其中 Ai i = s 都是方阵 那末称 A为分块 . A = A1 A2  As 分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

0 (6设A 0 若41≠0(=1,2,…,s)则A≠0,并有 A

若 Ai  0(i = 1,2,  ,s),则 A  0,并有 . 2 1               = As A A A  o o (6) , 2 1               = As A A A  设 o o −1 −1 −1 −1