北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第三章 线性方程组（3.3）线性相关性

第三节线性相关性 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵A=(ai)有n个m维列向量 nxn a1 2 n 11 12 d1J aln 2122…a2j a2n amlllam2 n 向量组a,a2,…,n称为矩阵4的列向量组

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. 第三节 线性相关性 a1 a2 a j an

类似地矩阵A=(i)又有m个n维行向量 nXn 1112 ain 2122 a2n a2 ail i2 i T taml (m2 向量组a1,a2,…,am称为矩阵A的行向量组

类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…amn, 构成一个m×n矩阵 A=( 1929 m个n维行向量所组成 B1 的向量组1,,A,B=|B 构成一个m×n矩阵

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 m n m n m  , , , , 1  2   构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T  , , ,  1  2                = T m T T B     2 1 ( , , , ) A = 1  2   m

线性方程组的向量表示 a1x1+a12x2+…+a1nn=b 19 d211+a22x2+…+a2nn=b2, m11+am2x2+ nn n a11+a2.x2+ n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应

a1 x1 + a2 x2 +  + an xn = b 线性方程组的向量表示        + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n     方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．

定义9给定向量组4:a1,a2,…,am,对于任何 组实数k1,k2,…,kn向量 a=k,a+k2a2+.+kna 称为向量组的一个线性组合,k1,k2y…,k称为这 个线性组合的系数

定义 9 组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2      . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量  = k1 1 + k2  2 ++ km  m 线性组合

给定向量组4:a1,a2,…,a和向量b如果存在 一组数λ,λ2…,凡n,使 b=11+2a2+…nCm 则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能 由向量组A线性表示 即线性方程组 x1C1+x2ax2+…+xmCm=b 有解

b = 11 + 2 2 +   m  m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b      , : , , , , 1 2 1 2   . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x  + x  +  + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示． b A

例任一个维向量a=(ax1,a2…;an)都是单位 向量组 2=(0,12…,0) En=(0,0,…I 的一个线性组合因为 c=c181+c2E2+…+nEn 定义10设有两个向量组 1929 ,及B:B1,B2,…,B 若B组中的每个向量都能由向量组4线性表示,则 称向量组硝能由向量组钱线性表示.若向量组4与向 量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价

定义10 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． . : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A     m B     s B A 例 . , (0,0, ,1) (0,1, ,0) (1,0, ,0) , , , ) 1 2 1 2 1 2 n n 2 1 n (               n n = + + + = = = =      的一个线性组合因 为 向量组 任一个 维向量 都是单位

若记A=(a1,a2,…,an)和B=(b1,b2,…,b,).B 能由4线性表示,即对每个向量b,(j=1,2,…,s)存 在数k1;,k2…km,使 b,=k11+k21a2+…+kmfm 2 1902,9

在数 使 能由 线性表示，即对每个向量 存 若记 （ 和 （ , , , ( 1,2, , ) , , , ) , , , ). 1 2 1 2 1 2 j j mj j m s k k k A b j s A B b b b B     = =    = bj = k1 j1 + k2 j 2 + + kmj m , , , ) , 2 1 1 2               = mj j j m k k k  （   

从而 12 Is (b,b2,…,b)=(a1 21 22 k, 19299m 2 Ms 矩阵Km,=(kn称为这一线性表示的系数矩阵

（b1 ,b2 ,  ,bs ) = 从而               m m ms s s m k k k k k k k k k        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 （ , , , ) 矩阵 ( )称为这一线性表示的系 数矩阵. Kms = kij

二、线性相关性的概念 定义11给定向量组4:a1,a2,…,am,如果存在不 全为零的数k1,k2…,kn使 k2a1+k2C2+…+knm=0 则称向量组是线性相关的,否则称它线性无关 注意1.若a1,a2,…,an线性无关,则只有当 1=…=n=0时,才有 2a,+…+an=0成立 2对于任一向量组,不是线性无关就是 线性相关

0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A          全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n               . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义11 二、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．