北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间（6.7）子空间的直和

§7子空间的直和 直和的定义 、直和的判定 三、多个子空间的直和

1 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和

引入 设V1,2为线性空间V的两个子空间,由维数公式 dimv+dimV2=dim(V,+V2)+dim(Vnv2) 有两种情形: 1)dim(1+v2)0, 即,V∩V2必含非零向量

2 引入 有两种情形： 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 1 2 1 2 1) dim( ) dim dim V V V V +  + 此时 dim( ) 0, V V 1 2  即， 必含非零向量. V V 1 2

2)dim(1+v2)=dimv1+ dimv2 此时dim(V1∩v2)=0, v1∩v2不含非零向量,即v1nV2={0} 情形2)是子空间的和的一种特殊情况 直和

3 情形2）是子空间的和的一种特殊情况 直和 1 2 1 2 2) dim( ) dim dim V V V V + = + 此时 dim( ) 0, V V 1 2 = V V 1 2 不含非零向量，即 V V 1 2 = 0

、直和的定义 设V1,V为线性空间V的两个子空间,若和V+V2 中每个向量a的分解式 a=a1+a2,a1∈V1,C2∈ 是唯一的,和V+V就称为直和,记作VV2 注:①分解式a=a1+a2唯一的,意即 若有a=a1+a2=B1+B2,a1月∈V1,a2,月2∈V 则a1=B,a12=B2

4 一、直和的定义 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，若和 V V 1 2 + 1 2 1 1 2      = +   , , V V 是唯一的，和 就称为直和，记作 1 2 V V  . V V 1 2 + 注: 若有 , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2          = + = +   , V V 则 1 1 2 2     = = , . ① 分解式    = +1 2 唯一的，意即 中每个向量  的分解式

②分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立.例如,R3的子空间 H=L(61,E2),V2=L(a2,63),V=L(E3) 这里,E1=(1,0,0),E2=(0,1,0),63=(0,0,1) 在和V+V2中,向量的分解式不唯一,如 (2,2,2)=(2,3,0)+(0,-1,2)=(2,1,0)+(0,1,2) 所以和V1+V2不是直和

5 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 1 1 2 2 2 3 3 3 V L V L V L = = = ( , ), ( , ), ( )      1 2 3 这里，    === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 在和 V V 1 2 + 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) = + − = + 所以和 V V 1 2 + 不是直和

而在和V+V中,向量(2,2,2)的分解式是唯一的, (2,2,2)=(2,2,0)+(0,0,2) 事实上,对a=(a1,a2a3)∈V1+V, 都只有唯一分解式:a=(a1,a2,0)+(0,0,a3) 故V+3是直和

6 而在和 V V 1 3 + 中，向量(2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2) = + 事实上，对 1 2 3 1 3  =  +  ( , , ) , a a a V V 故 是直和. 1 2 3 都只有唯一分解式：  = + ( , ,0) (0,0, ). a a a V1 +V3

二、直和的判定 1、(定理8)和V+V2是直和的充要条件是零向量 分解式唯一,即若a1+a2=0,a1∈V1,O2∈V2 则必有a1=a2=0 证:必要性.V+V2是直和, Va∈V1+V2,a的分解式唯 若a1+a2=0,a1∈V1,a2∈V2 而0有分解式0=0+0, C,=0

7 二、直和的判定 分解式唯一，即若 1 2 1 1 2 2     + =   0, , V V 1、(定理8) 和 V V 1 2 + 是直和的充要条件是零向量 则必有 1 2  = = 0. 1 2 1 1 2 2 若    + =   0, , V V 证：必要性. V V 1 2 + 是直和, 1 2    +   V V , 的分解式唯一. 1 2  = =   0, 0. 而0有分解式 0= 0 0, +

充分性.设a∈V1+V2,它有两个分解式 a=a1+a2=B1+B2,a1,B1∈V1,a22∈H2 于是(a1-B1)+(a2-B2)=0 其中a1-A∈H1,a2-A2∈V2 由零向量分解成唯一,且0=0+0, 有a1-B1=0,a2-B2=0 即a1=B1,a2=B2∴a的分解式唯 故V1+V2是直和

8 充分性. 故 是直和. V V 1 2 + , , , 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2          = + = +   , V V 设   + V V 1 2 ，它有两个分解式 有 1 1 2 2     − = − = 0, 0. 其中 1 1 1 2 2 2     −  −  V V , 于是 1 1 2 2 ( ) ( ) 0     − + − = 由零向量分解成唯一，且 0= 0 0, + 即 1 1 2 2     = = ,   的分解式唯一

2、和V1+V2是直和分→nv2={0} 证: ”若αx1+a2=0,a1∈V 19 ,∈ 则有a1=-a2∈V1∩V2={ ,即V+V2是直和 “→”任取∈∩v2,于是零向量可表成 0=a+(-a),a∈V1,-a∈V2 由于V+V2是直和,零向量分解式唯 a=-a=0.故∩v2={0}

9 2、和 V V 1 2 + 是直和  = V V 1 2 0. 则有   1 2 1 2 = −  = V V 0 1 2  = =   0, 即 V V 1 2 + 是直和. “ ” 任取 1 2   V V , 证：“ ” 若 1 2 1 1 2 2      + =   0, , . V V 于是零向量可表成 1 2 0 ( ), , . = + −  −      V V 由于 V V 1 2 + 是直和，零向量分解式唯一，  = − =   0. 故 V V 1 2 = 0 . 

3、和V+V2是直和 e dim(i+v2)=dimi+dimv2 证:由维数公式 dimV+dimV2=dim(Vi+V2)+dim(V,nv2) A,dim(Vi+v2)=dimV+dimv2 冷dim(1∩v2)=0 令V∩V2={0 兮>V1+V2是直和.(由2、得之)

10 证：由维数公式 3、和 V V 1 2 + 是直和  + = + dim( ) dim dim V V V V 1 2 1 2 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 有， dim( ) dim dim V V V V 1 2 1 2 + = +  = dim( ) 0 V V 1 2  = V V 1 2 0  + V V 1 2 是直和. （由2、得之）