北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第五章 二次型（5.3）唯一性

§3、一性 HOME 五章二次型

第五章 二次型 三、小结 二. 实数域上的二次型的规范形 一 . 复数域上的二次型的规范形

问题的产生: 1、二次型的标准形不是唯一的,与所作的非退化 线性替换有关 如:二次到(x,x,)=2x12-6x3+2xx2 l/211 ()准非退化线姓蓍赖 00 00 得标准形f(x,x2,x3)=223-3玲2+的 3 第五章二次型

第五章 二次型 问题的产生： 1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 如：二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 2 f (x , x , x ) = 2x x −6x x + 2x x                     = − −           3 1 1 3 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 3 y y y x x x (1)作非退化线性替换 得标准形 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2y1 − 2y + 6y (2)                     = −           3 1 1 3 2 1 0 0 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 z z z x x x 2 3 2 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 f (x , x , x ) = 2z − z + z 线性替换有关

2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中, 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所 作的非退化线性替换无关 f(x,…,xn)=XAX X=Cy 作非退化线性替换 化为麻尼旦次型则有为=C:xn)=XAX 的秩簇矩雎的秩c卿珠示秩(A) 而秩(D)等于D的主对角线上不为零的元素的个数 3.问题:如何在一般数域P上,进一步“规范” 平方项非零系数的形式?(这样产生了唯一性的问题 第五章二次型

第五章 二次型 秩( ) ( ' ) ( ) D C AC A = = 秩 秩 f (x1 ,  , xn ) = X' AX ∵若 作非退化线性替换 X =CY Y'DY 化为标准形 ，则有 D C AC = ' , 而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数. 3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题） 2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关. 定义：二次型 的秩等于矩阵A的秩，即秩 ＝秩（A）. 1 2 ( , , , ) ' n f x x x X AX = f

、复数域上的二次型的规范形 复二次型的规范形的定义 设复二次型f(X)=XAX,A"=A∈C 经过非退化线性替换X=CY,C∈Cmn可逆,得 标准形f(X)=Y(C'ACY=d1y1+…+d1yr d1}≠0,i=1,2…r,这里r=秩∫=秩(A 再作非退化线性替换 第五章二次型

第五章 二次型 一、复数域上的二次型的规范形 1. 复二次型的规范形的定义 标准形 再作非退化线性替换 2 2 1 1 ( ) '( ' ) r r f X Y C AC Y d y d y = = + + 设复二次型 ( ) ' , ' Cn n f X X AX A A  = =  经过非退化线性替换 , C 可逆, 得 n n X CY C  =  d i r i  = 0, 1 , 2 , 这里 r f A = = 秩 秩（ ）

VI 或Y=DZ, r+1 r+1 D=dig(,,…,r,,1,…,1 d, 则f(X)=z'(DC'ACD)Z=x+2+…+z 称之为复二次型∫(X)的规范形 第五章二次型

第五章 二次型 则 称之为复二次型 f X( ) 的规范形. 1 1 1 ( , , , 1 , , 1) r D diag d d = 1 1 1 1 1 1 1 r r r r r n n y z d y z d y z y z + +  =      =   =   =  , 或 Y = D Z , 2 2 2 1 2 ( ) '( ' ' ) r f X Z D C ACD Z z z z = = + + +

注意: ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种 ②复二次型的规范形是唯一的,由秩∫确定. 2.(定理3)任一复二次型经过适当的非退 化线性替换可化为规范形,且规范形唯一 推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵 E.0 00丿 其中r=秩(A) 推论2两个复对称矩阵A、B合同兮秩(4)=秩(B) 第五章二次型

第五章 二次型 注意： ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种. ②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定. 2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退 化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一. 推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵 0 , 0 0 Er       其中r A = 秩( ). 推论2.两个复对称矩阵A、B合同  = 秩( ) ( ). A B 秩

二、实数域上的二次型的规范形 1.实二次型的规范形的定义 设实二次型f(X)=X'AX,A'=A∈R"经过 非退化线性替换X=CY,C∈R"可逆,得标准形 f(X=Y(C)Y d1y2+…+d p+1p+1 其中,d1>0,i=1,2…r,r=秩∫=秩(A) 再作非退化线性替换 第五章二次型

第五章 二次型 二、实数域上的二次型的规范形 再作非退化线性替换 1. 实二次型的规范形的定义 f X Y C AC Y ( ) '( ' ) = 2 2 2 2 1 1 1 1 , p p p p r r d y d y d y d y = + + − − − + + 设实二次型 ( ) ' , ' R 经过 n n f X X AX A A  = =  非退化线性替换 X CY C =  , Rn n 可逆，得标准形 其中， d i r i  = 0, 1 , 2 , r = 秩 f = 秩( ). A

r=1,z,或Y=DZ,(同前) r+1 r+1 D= diag( 9 n 则f(X)=Z'(D'C'ACD)z Zi+ +z-Z P+1 称之为实二次型∫(X)的规范形 第五章二次型

第五章 二次型 则 f X Z D C ACD Z ( ) '( ' ' ) = 2 2 2 2 1 1 p p r z z z z = + + − − − + 1 1 1 1 1 1 1 ( ) r r r r r n n y z d y z d y z y z + +  =      =   =   =  , 或 Y = D Z , 同前 1 1 1 ( , , , 1 , ,1) r D diag d d = 称之为实二次型 的规范形. f X( )

注意 ①实二次型的规范形中平方项的系数只有1,-1 0三种 ②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与 1的个数之和=秩f=秩(A)是唯一确定的 ③规范形是唯一的 2、(定理4)惯性定理:任一实二次型可 经过适当的非退化线性替换化成规范形,且 规范形是唯一. 证明:只证唯一性 第五章二次型

第五章 二次型 ①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1， 0三种. ②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与 －1的个数之和 = 秩 = 秩(A)是唯一确定的. f ③规范形是唯一的. 2、(定理4)惯性定理：任一实二次型可 经过适当的非退化线性替换化成规范形，且 规范形是唯一. 证明：只证唯一性. 注意

设实二次型f(X)=XAX经过非退化线性替换 X=BY化成规范形 f(X)=y1+…+y-yn+1 (1) 经过非退化线性替换X=CZ化成规范形 f(X)=x+…+z-1-…-z (2) 只需证p=g.用反证法,设p>g 由(1)、(2),有 第五章二次型

第五章 二次型 设实二次型 f (X ) = X ' AX 经过非退化线性替换 X = BY 化成规范形 （1） 只需证 p g = . 经过非退化线性替换 X CZ = 化成规范形 （2） 用反证法，设 p g  由(1)、(2)，有 2 2 2 2 1 1 ( ) q q r f X z z z z = + + − − − + 2 2 2 2 1 1 ( ) p p r f X y y y y = + + − − − +