北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.9）最小多项式

§9最小多项式

一、 最小多项式的定义 二、 最小多项式的基本性质

引入 由哈密尔顿一凯莱定理,VA∈P",∫(4)=AE-A 是A的特征多项式,则∫(A)=0. 因此,对任定一个矩阵A∈P",总可以找到一个 多项式∫(x)∈P[xl,使∫(4)=0.此时,也称 多项式f(x)以A为根 本节讨论,以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系 §9最小多项式

§9 最小多项式 由哈密尔顿―凯莱定理， , ( ) | | n n A P f E A      = − 是A的特征多项式，则 f A( ) 0. = 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 n n A P   多项式 f x P x ( ) [ ],  使 f A( ) 0. = 多项式 f x( ) 以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称

、最小多项式的定义 定义:设A∈P,在数域P上的以A为根的多项 式中,次数最低的首项系数为1的那个多项式,称 为A的最小多项式 §9最小多项式

§9 最小多项式 一、最小多项式的定义 定义：设 , 在数域P上的以A为根的多项 n n A P   为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称

二、最小多项式的基本性质 1.(引理1)矩阵A的最小多项式是唯一的 证:设g1(x),g2(x)都是A的最小多项式 由带余除法,g1(x)可表成 g1(x)=q(x)2(x)+r(x) 其中r(x)=0或O(r(x)<O(82(x) 于是有 §9最小多项式

§9 最小多项式 二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 都是A的最小多项式. 1 2 g x g x ( ), ( ) 由带余除法， g x 1 ( ) 可表成 1 2 g x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 r x( ) 0 = 或 2    ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有

g1(A)=q(A)82(4)+r(4)=0 (A)=0 由最小多项式的定义,r(x)=0, 即,82(x)g1(x) 同理可得,g1(x)g2(x) 81(x)=cg2(x),C≠0 又81(x)82(x)都是首1多项式,∴C=1 故g1(x)=82(x) §9最小多项式

§9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0, = 即， 2 1 g x g x ( ) ( ). 同理可得， 1 2 g x g x ( ) ( ). 1 2  =  g x cg x c ( ) ( ), 0 1 2 g A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + =  = r A( ) 0 又 1 2 都是首1多项式, g x g x ( ), ( )  = c 1 故 1 2 g x g x ( ) ( ). =

2.(引理2)设g(x)是矩阵A的最小多项式,则 ∫(x)以A为根兮(x)f(x) 证:充分性显然,只证必要性 由带余除法,∫(x)可表成 f(=g(xg()+r(x), 其中r(x)=0或O(r(x)<(g(x) 于是有f(4)=q(4)g(4)+r(A)=0 0 §9最小多项式

§9 最小多项式 2.（引理2）设 g x( ) 是矩阵A的最小多项式，则 f x( ) 以A为根  g x f x ( ) ( ). 证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f x( ) 可表成 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 其中 r x( ) 0 = 或    ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有 f A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + =  = r A( ) 0

由最小多项式的定义,r(x)=0. g(x)If(x) 由此可知: 若g(x是A的最小多项式,则g(x)整除任何 个以A为根的多项式,从而整除A的特征多项式即 3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子. §9最小多项式

§9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0. =  g x f x ( ) ( ). 由此可知： 若 g x( ) 是A的最小多项式，则 g x( ) 整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子

例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式x-k; 特别地,单位矩阵的最小多项式是x-1 零矩阵的最小多项式是x 反之,若矩阵A的最小多项式是一次多项式,则 A一定是数量矩阵. 例2、求A=010的最小多项式 001 §9最小多项式

§9 最小多项式 例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式 x k − ; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x − 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 例2、求 的最小多项式. 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A   =      

解:A的特征多项式为 1-10 f(x)=xE-A|=0x-10=(x-1)3 又A-E≠0, (A-E)2=A2-2A+E 20(220)(100 010|-020+010|=0 001)(002丿(001 A的最小多项式为(x-1) §9最小多项式

§9 最小多项式 解：A的特征多项式为 3 1 1 0 ( ) | | 0 1 0 ( 1) 0 0 1 x f x xE A x x x − − = − = − = − − 又 A E−  0, 2 2 ( ) 2 A E A A E − = − + 1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1       = − + =                   ∴ A的最小多项式为 2 ( 1) . x −

4.相似矩阵具有相同的最小多项式 证:设矩阵A与B相似,gA(x),8(x分别为它们的 最小多项式 由A相似于B,存在可逆矩阵T,使B=T-1AT 从而gA(B)=8A(TAT=TgA(A)T=0 g(x)也以B为根,从而g8(x)g4(x) 同理可得g4(x)g(x) 又8A(x),81(x)都是首1多项式,∴8A(x)=81(x) §9最小多项式

§9 最小多项式 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， g x g x A B ( ), ( ) 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 1 B T AT. − = 从而 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 A A A g B g T AT T g A T − − = = = ( ) A  g x 也以B为根， 同理可得 ( ) ( ). A B g x g x ( ) ( ). B A 从而 g x g x 又 g x g x A B ( ), ( ) 都是首1多项式， ( ) ( ). A B  = g x g x