北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间（6.4）基变换与坐标变换

§4基变换与坐标变换 向量的形式书写法 基变换 三、坐标变换

1 一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换

引入 我们知道,在n维线性空间V中,任意n个线 性无关的向量都可取作线性空间ⅴ的一组基.VⅤ 中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的, 但是在不同基下的坐标一般是不同的.因此在处 理一些问题是时,如何选择适当的基使我们所讨 论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题.为 此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之 间有什么关系,即随着基的改变,向量的坐标是 如何变化的

2 引入 我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线 性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V 中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的， 但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此在处 理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨 论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为 此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之 间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是 如何变化的

向量的形式书写法 1、V为数域P上的n维线性空间,C12Q2,…Cn为 ⅴ中的一组向量,B∈V,若 B=x101+x2O2+…+xnCn 则记作 rI B=(a1, 25",Q.xy

3 一、向量的形式书写法 1、V为数域 P上的 n维线性空间，    1 2 , , , n 为 V中的一组向量，  V ，若 1 1 2 2 n n     = + + + x x x 则记作 1 2 1 2 ( , , , ) n n x x x         =      

2、V为数域P上n维线性空间,C122, B1,B32…,B2为V中的两组向量,若 11 a 1w2 nin B2=a120x1+a22+…+a n2n B=aina,+a2n …+a. nn n 则记作 11u12 (月1,B,…,B,)=(1,a2,,an).21 2n 2 nn

4 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a                  = + + + = + + + = + + + 则记作 2、V为数域 P上 n维线性空间，    1 2 , , , n ； 1 2 , , ,    n 为V中的两组向量，若 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a           =      

注:在形式书写法下有下列运算规律 1)a1,a2…,an∈V,a1,a2…,an,b1,b2,…,bn∈P al 1c2,9 十 102 bb:b +b1 1902, a+b 若a1,ax2,…,an线性无关,则 b 1295n 19025

5 注：在形式书写法下有下列运算规律 1) 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , ,   n n n   V a a a b b b P 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n a b a b a b               +             1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n a b a b a b      +   + =     +   若 1 2 , , ,   n 线性无关，则 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n a b a b a b a b a b a b                       = =                         

2)a1,a2,…,ar;B,B2…,B,为V中的两组向量, 矩阵A,B∈P",则 (01,a2,…,Cn)A)B=(a1,a2…,an)(AB) (a1,a2,…,On)A+(a1,a2,…,n)B (1,C2,…On)(A+B) an)4+(A1,B2,…,Bn)A (a,+Bu,a2+B2,.,,+B)A 若ax1,ax2,…,an线性无关,则 (ax1,C2,…,an)A=(a1,2,…,Cn)B兮A=B

6 2)    1 2 , , , n ；    1 2 , , , n 为V中的两组向量， 矩阵 , ，则 n n A B P   1 2 1 2 (( , , , ) ) ( , , , )( )       n n A B AB = ； 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n A B + ； 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n A A + ； 1 1 2 2 ( , , , ) = + + +       n n A 若 1 2 , , ,   n 线性无关，则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n A B A B =  = 1 2 ( , , , )( ) = +   n A B

二、基变换 1、定义 设V为数域P上n维线性空间,61E2,…En; 12,…,En为V中的两组基,若 111 +…+anE, 21c2 nin 1+a 121 …十unE, n2 ① 6n=n21+a 2n2 nn

7 1、定义 设V为数域P上n维线性空间，    1 2 , , , n ； 1 2 , , , n       为V中的两组基，若 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a              = + + +  = + + +  =   + + +    ① 即， 二、基变换

12 (61,62,…,En)=(61,E2…,bn)11122 2n nl n2 nn 12 则称矩阵A=a21a2 2n nI n2 n 为由基61,E2,…,En到基b1,2,En的过渡矩阵; 称①或②为由基1,62,…,6n到基61,62,…,bn 的基变换公式

8 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a     =       为由基    1 2 , , , n 到基    1 2    , , , n 的过渡矩阵； 称 ① 或 ② 为由基    1 2 , , , n 到基 1 2 , , , n       的基变换公式． 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a              =       ②

2、有关性质 1)过渡矩阵都是可逆矩阵;反过来,任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵 证明:若a1,a2,…an;B1,B2,…,Bn为ⅴ的两组基 且由基a1,a2…,an到B,月2…,Bn的过渡矩阵为A, 即(A1,2,…,Bn)=(1,a2,,an)A 又由基B1,2,…,B,到a1,a2,…an也有一个过渡矩阵, 设为B,即(a1,a2…,an)=(B1,/2,,Bn)B 比较③、④两个等式,有

9 2、有关性质 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 证明：若       1 2 1 2 , , , ; , , , n n 为V的两组基, 且由基       1 2 1 2 , , , , , , n n 到 的过渡矩阵为A， 即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n = A 又由基       1 2 1 2 , , , , , , n n 到 也有一个过渡矩阵, 设为B，即 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n = B ③ ④ 比较③ 、④两个等式，有

(B1,12,…,Bn)=(B1,B2,…,Bn)BA 190295 a=(a1 9)9 ,a)AB 9c2 an;A1,2,…,,都是线性无关的, AB=BA=E.即,A是可逆矩阵,且A-1=B 反过来,设A=(at)为P上任一可逆矩阵, 任取V的一组基a1,a2;…,an 令月;=∑na,j=1,2,…,n i=1 于是有,(A1,2,,Bn)=(a1,a2…,an)A

10 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n = BA 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , )       n n = AB       1 2 1 2 , , , ; , , , n n 都是线性无关的,  = = AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B. 反过来，设 A a = ( )ij n n 为P上任一可逆矩阵， 任取V的一组基 1 2 , , , ,   n 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 于是有，       n n = A 1 , 1,2, , n ij i i   a j n = 令 j = = 