北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间（6.5）线性子空间

85线性子空间 、线性子空间 二、生成子空间

1 一、线性子空间 二、生成子空间

、线性子空间 1、线性子空间的定义 设Ⅴ是数域P上的线性空间,集合WcV(W≠) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间,简称为子空间 注:①线性子空间也是数域P上一线性空间,它也 有基与维数的概念 ②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数

2 一、线性子空间 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 W V W    ( ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数

2、线性子空间的判定 定理:设为数域P上的线性空间,集合WV (W≠),若W对于Ⅴ中两种运算封闭,即 va,B∈W,有a+B∈W; Va∈W,Vk∈P,有ka∈W 则W是V的一个子空间 证明:要证明W也为数域P上的线性空间,即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则

3 2、线性子空间的判定 ( ) W   ，若W对于V中两种运算封闭，即   +      , , ; W W 有 则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V         W k P k W , , 有

由于W≤V,规则1)、2)、5)、6)、7)、8) 是显然成立的.下证3)、4)成立 ∵W≠,∴彐α∈W.且对α∈W由数乘运算 封闭,有-c=(-1)a∈W,即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素,4)成立 由加法封闭,有0=a+(-a)∈W,即W中的零元 就是V中的零元,3)成立 推论:V为数域P上的线性空间,VW≠),则 W是V的子空间分→Va,B∈W,Va,b∈P,aa+bB∈W

4 ∵ W   ，∴   W . 且对    W ，由数乘运算 封闭，有 − = −    ( 1) W ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于 W V  ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．      +      , , , , . W a b P a b W 推论：V为数域P上的线性空间, W V W    ( ), 则 由加法封闭，有 0 ( ) = + −    W ,即W中的零元 W是V的子空间

例1设为数域P上的线性空间,只含零向量的 子集合W={0}是V的一个线性子空间,称之为ⅴ的 零子空间.线性空间ⅴ本身也是的一个子空间 这两个子空间有时称为平凡子空间,而其它的 子空间称为非平凡子空间 例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则Rx为ⅴ的一个子空间 例3Pxl是P[x的的线性子空间

5 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的 子集合 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． W = {0}

例4n元齐次线性方程组 u1X1+1X+ In 0 观L x7,+…+a,x,=0 22~2 n n (水 s2~2 +…+a.=0 sn 1 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是n维向量空间P的一个子 空间,称W为方程组(*)的解空间 注①(大)的解空间w的维数=n-秩(A,A=(an)wm; ②()的一个基础解系就是解空间W的一组基

6 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A a = ( )ij s n ； 例4 n元齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =  + + + =   + + + =  (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子

例5设Ⅴ为数域P上的线性空间,a1,ax2,…,arn∈p 令W={a1+k2a2+…+k,ak∈P=1,2,…,n 则W关于V的运算作成的一个子空间 即1,a2,…,Crn的一切线性 组合所成集合

7 例5 设V为数域P上的线性空间， 1 2 , , ,   r V 1 1 2 2 { , 1,2, , } 令W k k k k P i r = + + +  =   r r i 则W关于V的运算作成V的一个子空间． 即 的一切线性 组合所成集合. 1 2 , , ,   r

二、一类重要的子空间 生成子空间 定义:V为数域P上的线性空间,a1,a2,…,r∈ 则子空间 W={k1a1+k2a2+…+k,ak∈P,i=1,2,…r 称为的由ax1,a2,…,a生成的子空间, 记作L(ax1,a2…,ar 称a1,a2,…,C为L(a1,a2,…,cn)的一组生成元

8 称为V的由    1 2 , , , r 生成的子空间， 二、一类重要的子空间 ——生成子空间 定义：V为数域P上的线性空间， 则子空间 1 2 , , ,   r V ， 1 1 2 2 { , 1,2, , } W k k k k P i r = + + +  =   r r i 记作 L( , , , )    1 2 r ． 称 1 2 为 的一组 生成元. , , ,   r 1 2 ( , , , ) L   r

例6在P中 (0,…,0,1,0…,0),i=1,2,…,n 为P的一组基,Va=(a1,a2,…,an)∈P 有 c=a11+a2E2+… 事实上,任一有限 故有P=L,62,…,8n)维线性空间都可由 即Pn由它的一组基生成 它的一组基生成 类似地,还有 PlxL,=l(l,,x,,x' 十a1x+…+anx t091 ∈P}

9 例6 在Pn 中， 2 1 [ ] (1, , , , ) n P x L x x x n − = (0, ,0,1,0 ,0), 1,2, , i i  = =i n 为Pn的一组基， 1 2 ( , , , ) n n  =   a a a P 1 1 2 2 n n 有     = + + + a a a 1 2 ( , , , ) n P L n 故有 =    即Pn 由它的一组基生成. 类似地，还有   1 0 1 1 0 1 1 , , , n n n a a x a x a a a P − = + + +  − − 事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成

有关结论 1、设W为n维线性空间Ⅴ的任一子空间,Cx1,a2,…,a1 是W的一组基,则有W=L(a1,ax2,…,a,) 2、(定理3) 1)a1,a2,…,cn;B1,B2,…,,为线性空间V中的 两组向量,则L(a1,a2…,a)=L(B1,月2…,B, 兮a1,2…,ar与月,B2,…,B。等价 2)生成子空间L(1,a2,…,Cn)的维数 向量组1,C2…Cr的秩

10 有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 是W的一组基，则有 1 2 , , ,   r 1 2 ( , , , ) W L =   r 2、（定理3） 1） ； 为线性空间V中的 两组向量，则 1 2 , , ,    s 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) L L       r s = 1 2 , , ,   r     1 2 , , , r 与    1 2 , , , s 等价． 2）生成子空间 L( , , , )    1 2 r 的维数 ＝向量组    1 2 , , , r 的秩．