北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间（6.8）线性空间的同构

§8线性空间的同构 同构映射的定义 二、同构的有关结论

1 一、同构映射的定义 二、同构的有关结论

引入 我们知道,在数域P上的n维线性空间Ⅴ中取定 组基后,V中每一个向量a有唯一确定的坐标 (a1,a2,…,an),向量的坐标是P上的n元数组,因此 属于P.这样一来,取定了Ⅴ的一组基61,62,… 对于V中每一个向量a,令a在这组基下的坐标 (a1,a2,…,an)与α对应,就得到V到P的一个单射 p, ah(a 92 反过来,对于Pm中的任一元素(1,a2,…,an) a=E1+E2a2+…+Enan是V中唯一确定的元素, 并且σ(a)=(a1,a2,…,an),即σ也是满射 因此,σ是V到P的一一对应 2

2 我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定 一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标 ，向量的坐标是P上的n元数组，因此 属于Pn . 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就得到V到Pn的一个单射 反过来，对于Pn中的任一元素 是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射. 因此， 是V到Pn的一一对应. 引入 1 2 , , , n    1 2 ( , , , ) n a a a    ( , , , ) a a a 1 2 n  1 2 : , ( , , , ) n   V P a a a → n 1 2 ( , , , ) n a a a 1 1 2 2 n n     = + + + a a a 1 2 ( ) ( , , , ), n   = a a a  

这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上 任取a,B∈V,设 =a1E1+a2E2+…+unEn,B=b161+b2E2+…+bnEn 则o(a)=(a,n2…,an),σ(B)=(b1,b2,…,b,) 从而σ(a+β)=(a1+b,a2+b2…,an+bn) =(1,a2…,an)+(b1,b2…,bn)=(a)+() (Ka)=(ka1,ka2…,kn) Vk∈P 192 ,)=ko(a), 这就是说,向量用坐标表示后,它们的运算可以 归结为它们的坐标的运算

3 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取  , , V 设 1 2 ( ) ( , , , ) n   = b b b 1 1 2 2 , n n     = + + + a a a 1 1 2 2 n n     = + + + b b b 1 2 ( ) ( , , ), n 则   = a a a 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n n    + = + + + a b a b a b 1 2 ( ) ( , , ) n  k ka ka ka k P =   归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以 1 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) ( ) ( ) n n = + = + a a a b b b     1 2 ( , , ) ( ), n = = k a a a k  从而

同构映射的定义 设V,都是数域P上的线性空间,如果映射 G:V→V具有以下性质: i)a为双射 iio(a+B)=o(a)+o(B), Va,BEV )o(ka)=ko(a),Wk∈P,va∈V 则称是V到V的一个同构映射,并称线性空间 V与V同构,记作坐

4 一、同构映射的定义 设 V V,  都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V →  具有以下性质： 则称 是V V 到  的一个同构映射，并称线性空间 V V 与  同构，记作 V V  . ii)          ( ) ( ) ( ), , + = +  V iii)      (k k k P V ) =     ( ), , i)  为双射

例1、V为数域P上的n维线性空间,6162,…,En 为V的一组基,则前面V到P的一一对应 丿→P aH>(u1,a2,…,an)Va∈V 这里(a1,a2,…,an为a在E1,E2,…,En基下的坐标, 就是一个V到P的同构映射,所以V坐Pn

5 为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间， 1 2 , , , n    : , n  V P → 1 2 ( , , , ) n  a a a   V 这里 ( , , , ) a a a 1 2 n 为  在    1 2 , , , n 基下的坐标， 就是一个V到Pn的同构映射，所以 . n V P 

二、同构的有关结论 1、数域P上任一n维线性空间都与P同构. 2、设V,"是数域P上的线性空间,是到V的 同构映射,则有 1)(0)=0,a(-a)=-o(a) 2)σ(k1a1+k2O2+…+k,ar) kg(a1)+k2o(a2)+…+k,σ(an), C.∈卩,k.∈Pi=12,…r

6 1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构. 二、同构的有关结论 同构映射，则有 1）      (0 0, . ) = − = − ( ) ( ) 2、设 V V,  是数域P上的线性空间， 是V V 到  的 2） 1 1 2 2 ( ) r r     k k k + + + 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ), r r = + + + k k k       , , 1,2, , . i i   = V k P i r

3)V中向量组a1,a2,,C线性相关(线性无关 的充要条件是它们的象o(a1,o(a2),…,o(a) 线性相关(线性无关) 4 dimv=dimv 5)aV→V的逆映射a1为V到v的同构映射 6)若W是V的子空间,则W在σ下的象集 a()={o(a)a∈W 是的V子空间,且dimW=dimo(W)

7 线性相关（线性无关）. 3）V中向量组    1 2 , , , r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 1 2 ( ), ( ), , ( )      r 4） dim dim . V V =  5） ：V V →  的逆映射 为 的同构映射. 1  − V V 到 是的 V 子空间，且 dim dim ( ). W W =      ( ) { ( ) } W W =  6） 若W是V的子空间，则W在  下的象集

证:1)在同构映射定义的条件i)a(ka)=ko(a) 中分别取k=0与k=-1,即得 0,c(-a 2)这是同构映射定义中条件i)与i)结合的结果 3)因为由k1a1+k2a2+…+k,a1=0 可得k1σ(a1)+k2(a2)+…+k(a)=0 反过来,由ka(a1)+k2O(a2)+…+k,a(a,)=0 可得σ(k1a1+k2a2+…+k,ar,)=0

8 中分别取 k k = = − 0 1, 与 即得      (0 0, ) = − = − ( ) ( ) 证： 1）在同构映射定义的条件iii)     (k k ) = ( ) 2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为由 1 1 2 2 0 r r k k k    + + + = 可得 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 r r k k k       + + + = 反过来，由 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 r r k k k       + + + = 可得 1 1 2 2 ( ) 0. r r     k k k + + + =

而σ是一一对应,只有σ(0)=0. 所以可得k1a1+k2a2+…+k,an=0. 因此,a1a2…,Cn线性相关(线性无关) 分σ(a1),O(a2),…,(c1)线性相关(线性无关) 4)设dm=n,E1,E2,…,En为V中任意一组基 由2)3)知,σ(E1),O(E2),,(En为σ的一组基 所以dim=n=dim

9 而  是一一对应，只有  (0) 0. = 所以可得 1 1 2 2 0. r r k k k    + + + = 因此，    1 2 , , , r 线性相关（线性无关） 1 2 ( ), ( ), , ( )       r 线性相关（线性无关）. 4）设 为V 中任意一组基. 1 2 dim , , , , V n n =    由2）3）知，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为  的一组基. 所以 dim dim . V n V  = =

5)首先a-1:p’→V是1-1对应,并且 aoa=I,aoσ=lr,T为恒等变换 任取a,B'∈V,由于σ是同构映射,有 oo (a+B=ooo(a+B)=a+B ooo(a+ooo(B)=oo(a)+o((B) o(a(a)+a-1(6" 再由是单射,有a(a'+B)=a(a)+a-(B 同理,有σ(ka)=ka(a),va’∈V,vk∈P 所以,a1为p到T的同构映射

10 1 1           ( ( )) ( ) − −       + = + = + 任取     , , V 1 1 , , V V     I I − − = =  I为恒等变换. 1 1 1 1             ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) − − − − = + = +     1 1      ( ( ) ( )) − − = +   5）首先  −1 :V V  → 是1－1对应，并且 同理，有 1 1      ( ) ( ), , k k V k P − −     =     所以， 为 的同构映射. 1  − V V 到  再由 是单射，有 1 1 1        ( ) ( ) ( ) − − −      + = +