北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第三章 线性方程组（3.1）消元法解线性方程组

第三章线性方程组 考察一般线性方程组 x1+a12x2+…+a1nxn=b aix, +aaX 2242 +∴+a,x.=b 2n ① tax t.tax=b sn n 其中x1,x2,…x为未知量,s为方程个数 (i=12…,s;j=1,2,…,n称为方程组系数 b(=1,2,…,s)称为常数项

1 考察一般线性方程组 （1） 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ,        + + + = + + + = + + + = s s s n n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     , , , . 其 中x1 x2  xn 为未知量，s为方程个数 ( ( 1,2, , ) . 1,2, , ; 1,2, , ) 称为常数项 称为方程组系数； b i s a i s j n i i j    = = = 第三章 线性方程组

所谓方程组(1)的一个解就是指由m个数 k,k2组成的有序数组(k1k2,…,kn)当 分别用2,…,x代入后,kMk…, 中的等式为恒等式 方程组(1)的解的全体称为它的解集合 两个方程组有相同的解集合,它们就称为 同解的

2 所谓方程组（1）的一个解就是指由n个数 组成的有序数组 . 当 分别用 代入后,（1） 中的等式为恒等式. k k kn , , , 1 2  ( , , , ) k1 k2  kn x x xn , , , 1 2  k k kn , , , 1 2  方程组（1）的解的全体称为它的解集合. 两个方程组有相同的解集合，它们就称为 同解的

消元法解线性方程组 引例求解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2, x1十 2x2+ 4 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③÷2 3x1+6x2-9x3+7x4=9

3 引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2  2

解 +x223+x4=4,① (2)①>② 2. x2+xA=2, ③÷2 2x1-3x,+x 2,③ 3x1+6x2-9x3+7x4 2 2. 3 4,① ③-2① 2x22x3+2x4=9 (B2) ④-3① 5x2+5x3-3x4=-6, 3x2-3x3+4x4=-3, 4

4 解 ( ) ( 2 ) B 1 ( ) B 2  2 13 2  + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1342 − 2 1 2 − 3 34 − 3 1  − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1342

+x2-2x3+x4=4, x2)-x2+x4=0, (B3) +5② 2x4=-6 ④-3② x1+x,-2x3+x4=4,① ③)④ x2-x3+x4=0, (B4) ④-2③ 0=0 用“回代”的方法求出解:

5 ( ) B3 ( ) B4        = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1  3 4 − 3 2 2        = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3  2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：

x,=x2+4 于是解得x2=x1+3,其中x为任意取值 令x3=c方程组的解可记作 C+4 4 X C+3 X ,即x=c l11 (3) 0 其中c为任意常数

6 于是解得 , 3 3 4 4 2 3 1 3      = − = + = + x x x x x . 其中x3 为任意取值 令x3 = c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1               − + + =               = c c c x x x x x 其中c为任意常数.               − +               = 3 0 3 4 0 1 1 1 即 x c （3）

小结 1.上述解方程组的方法称为消元法 2.始终把方程组看作一个整体变形,用到 如下三种变换,称为线性方程组的初等变换 (1)以不等于0的数乘某个方程 (以⑦×k替换) (2)一个方程加上另一个方程的k倍 (以⑦+k①替换⑦) (3)交换方程次序 (⑦与⑦相互替换)

7 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到 如下三种变换，称为线性方程组的初等变换. （3）交换方程次序； （1）以不等于０的数乘某个方程； （2）一个方程加上另一个方程的 k 倍． （ i 与 j 相互替换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）

3.上述三种变换都是可逆的 ①<)① 若(4) (B),则(B) ①<)① (A); 若(A) k (B),则(B) ①÷k (A); 若(A—(B),则(B) ①-k④ 由于三种变换都是可逆的,所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的(证明) 故这三种变换是同解变换

8 3．上述三种变换都是可逆的． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i  k 则(B) (A); i  k 则(B) (A). i − k j 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的（证明）， 故这三种变换是同解变换．

初等变换的作用:求解一般线性方程组 对于线性方程组 c1x1+a12x2+……+a1nxn= 1x1+a tax=b n n ① a1+a32X2+…+anxn=b S 首先检查x,的系数,如果x,的系数1,a21,…,a31 全部为零,那么方程组(1)的未知数仅为x2,x3,…,xn

9 对于线性方程组 初等变换的作用：求解一般线性方程组． （1） 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = s s s n n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     首先检查 的系数，如果 的系数 全部为零，那么方程组（1）的未知数仅为 x1 11 21 1 , , , a a  as x1 x x xn , , , 2 3 

如果x1的系数不全为零,那么可以利用初等变换3, 可以设a1≠0利用初等变换2,分别把第一个方程的 a倍加到第个方程(=23,…,,方程组(1) 变为 a1X1+ x+…+a 122 Inn hoax 2242 …+a,,x 2nt b2 x2+…+a′x.=b sn n 其中a b,i=2.3

10 1 x a11  0 如果 的系数不全为零，那么可以利用初等变换 3， 可以设 利用初等变换2，分别把第一个方程的 倍加到第 i 个方程 ，方程组（1） 变为 11 1 a ai − (i = 2,3,  ,n) （2） 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1         + +  =   + +  =  + + + = s s n n s n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b     a i , , ,s; j , , ,n a a a a j i i j i j 1 2 3  2 3  1 1 1 其 中  = −  = = b i , , ,s; a a b b i i i 1 2 3  1 1 1  = −  =