北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第一章 多项式（1.3）整除的概念

§1,3整除的概念 、带余除法 二、综合除法 三、整除

§1.3 整除的概念 一、带余除法 二、综合除法 三、整除

、带余除法 定理对f(x,g(x)∈P[x,g(x)≠0, 定存在q(x),r(x)∈P[x,使 f(=q(xg(x)+r() 成立,其中(r(x)<0(g(x)或r(x)=0, 并且这样的g(x),r(x)是唯一决定的 称q(x)为g(x除∫(的商,r(劝8(除f(x) 的余式

对    f x g x P x g x ( ), ( ) [ ], ( ) 0, 一定存在 q x r x P x ( ), ( ) [ ],  使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 成立，其中    ( ( )) ( ( )) r x g x 或 r x( ) 0, = 一、带余除法 定理 并且这样的 g x r x ( ), ( ) 是唯一决定的． 称 q x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的商， r x( ) 为 g x( ) 除 f x( ) 的余式．

Proof:先证存在性 ①若∫(x)=0,则令q(x)=r(x)=0.结论成立 ②若f(x)≠0,设∫(x),g(x)的次数分别为n,m 当n<m时,显然取q(x)=0,r(x)=f(x)即有 ∫(x)=q(x)g(x)+r(x),结论成立 下面讨论n≥m的情形,对n作数学归纳法 次数为0时结论显然成立 假设对次数小于n的∫(x),结论已成立

① 若 f x( ) 0, = 则令 q x r x ( ) ( ) 0. = = 结论成立． ② 若 f x( ) 0,  设 f x g x ( ), ( ) 的次数分别为 n m, , Proof： 当 n m 时， 结论成立． 显然取 q x r x f x ( ) 0, ( ) ( ) = = 即有 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 下面讨论 n m 的情形， 假设对次数小于n的 f x( )，结论已成立． 先证存在性． 对 n 作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立．

现在来看次数为n的情形 设∫(x)的首项为ax",g(x)的首项为bx",(n≥m) 则bax“"g(x)与f(x)首项相同,因而,多项式 fi(xf(x)bax"-"g(=) 的次数小于n或f为0 若f(x)=0,令(x)=baxm,r(x)=0即可 若a(f1(x)<n,由归纳假设,存在q1(x,(x) 使得f(x)=q1(x)g(x)+n1(x)

设 f x( ) 的首项为 , n ax g x( ) , ( ) m 的首项为 bx n m 则 ( ) 与 首项相同， 1 n m b ax g x − − f x( ) 因而，多项式 ( ) 1 ( ) ( ) - 1 = - g n-m f x f x b ax x 的次数小于n或 f1为0． 若 ( ) f x 1 = 0, 令 1 ( ) , ( ) 0 n m q x b ax r x − − = = 即可． 若   ( f x n 1 ( )) , 由归纳假设，存在 1 1 q x r x ( ), ( ) 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x q x g x r x = + 现在来看次数为n的情形．

其中a(1(x)<a((x)或者(x)=0.于是 x)=(bam+1(x)(x)+(x) 即有q(x)= b ax+q1(x),r(x)=n1(x)使 f(r=q()g(x)+r(x), 成立 由归纳法原理,对f(x),g(x)≠0,q(x,r(x) 的存在性得证

其中 ( ( )) ( ) 1   r x < g x( ) 或者 1 r x( ) 0. = 于是 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 1 1 . n m f x b ax q x g x r x − − = + + 即有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) , n m q x b ax q x r x r x − − = + = 使 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 成立． 的存在性得证． 由归纳法原理，对   f x g x ( ), ( ) 0, q x r x ( ), ( )

再证唯一性 若同时有∫(x)=q(x)g(x)+r(x) 其中a(r(x)<(8(x)或(x)=. 和∫(x)=q(x)g(x)+r(x), 其中("(x)<(8(x)(x)=0 U q(x8(+r()=q (g(+r() 即(q(x)-(x)(x)=r(x)-(x)

再证唯一性． 若同时有 f x q x g x r x ( ) = + ( ) ( ) ( ), 其中    (r x g x r x ( )) ( ( ))或 ( )＝0. 其中    (r x g x r x   ( )) ( ( ))或 ( )＝0. 和 f x q x g x r x ( ) = +   ( ) ( ) ( ), 则 q x g x r x q x g x r x ( ) ( ) + = + ( )   ( ) ( ) ( ) 即 (q x q x g x r x r x ( )－   ( )) ( )＝ ( )－ ( )

若q(x)≠q(x),由g(x)≠0,有r(x)-r(x)≠0 a(a(x)-g(x)+a(g(x)=a((x)-r(x) ≤max(a(),(T) <Q((x) 但((x)-(x)+((x)≥20(3(x),矛盾 所以q(x)=q(x),从而r(x)-(x) 唯一性得证

若q x q x g x r x r x ( )      ( )，由 ( ) 0, 0 有 ( )－ ( )    (q x q x g x r x r x ( )－   ( ))＋ ( ( ))＝ ( ( )－ ( ))    max , ( (r r ) ( )) 但     (q x q x g x g x ( )－ ( ))＋ ( ( )) ( ( )), 矛盾．   ( g x( ) ) 所以 q x q x ( ) = ( ), 从而 r x r x ( )= ( ). 唯一性得证．

二、综合除法 若∫(x)=anx"+a1x"1+…+an,则x-a除∫(x) 的商式q(x)=bx”+…+bn1和余式r 可按下列计算格式求得: 2 n-1 +)abo ab n-2 这里,b=a1+mb,b2=a2+mb1,…, -/a, tab n-2, r=a+ab

a a a a a a 0 1 2 1 n n − 0 1 2 1 n n ab ab ab ab ＋ − − ) 0 0 1 2 1 n b a b b b r = − 二、综合除法 的商式 1 0 1 ( ) n n q x b x b − = +  + − 和余式 r 可按下列计算格式求得： 这里， 若 1 ( ) , n n-1 0 n f x a x + a x + + a = 则 x a − 除 f x( ) 1 1 0 2 2 1 b a ab b a ab = + = + , , ,1 . n n r a ab = + − 1 1 2 , n n n b a ab − − − = +

Remark:综合除法用于 ①求一次多项式x-a去除∫(x)商式及余式 ②把∫(x)表成x-a的方幂和,即表成 f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+ 的形式

① 求一次多项式 x a − 去除 f x( ) 的商式及余式． ② 把 f x( ) 表成 x a − 的方幂和，即表成 2 0 1 2 f x c c x a c x a ( ) ( ) ( ) = + − + − + 的形式． Remark： 综合除法用于

例1.求8(x)除∫(x)的商式和余式 ∫(x)=x3-x2-x,g(x)=x-1+2i 解:由 1-2i1 )1-2i-4-2i-9+8i 2i 5-2 -9+8i 有f()=8x)(x2-2-5-2)-9+8

( ) ( ) 3 2 f x x x x g x x i = − − = − + , 1 2 例1．求 g x( ) 除 f x( ) 的商式和余式 解: 由 ＋) 1 2 − i １ －１ －１ ０ 1 2 − i − −4 2i − +9 8i １ − 2i − −5 2i − +9 8i 有 ( ) 2 f x g x x ix i i ( ) ( ) 2 5 2 9 8 . = − − − − +