北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第二章 行列式（2.8）习题课

第二章行列式 习题课 复习本章内容 典型例题

第二章 行列式 习题课 一、 复习本章内容 二、 典型例题

推广 (对角线法则)序数n阶行列式 、三阶行列式 对换 ( Cramer法则) 定义 性质展开解方程组 (利用代数余子式)

二、三阶行列式 推广 （对角线法则）逆序数 对换 n 阶行列式 定义 性质 展开 解方程组 （利用代数余子式） （Cramer法则）

逆序数 在一个排列(i2 in)中,若数i>i, 则称这两个数组成一个逆序 个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为 偶数的排列称为偶排列

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列． 在一个排列 中，若数 ， 则称这两个数组成一个逆序． ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i  i 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数． 逆序数

对换 定义在排列中,将任意两个元素对调,其余元 素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调 叫做相邻对换 定理一个排列中的任意两个元素对换,排列改 变奇偶性 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数

定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换． 定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数． 对 换

n阶行列式的定义 12 /2 22 D 2n ∑(-1 n1n2…a Pnh P1P2…P nI n2 nn 其中p1p2pn为自然数2,…,m的一个排列为这 个排列的逆序数∑表示对2,…,m的所有排列 取和

( ) p p p n p p p t n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D       1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 = =  − 1 n 阶行列式的定义 . ; 1,2, , 1,2, , ; 1 2 1 2 取 和 个排列的逆序数 表示对 的所有排列 其 中 为自然数 的一个排列 为 这 n p p p n t p p p n n     

n阶行列式D亦可定义为 D=∑(-1)an1an2…an P1P2…Pn 其中为行标排列1P2…Pn的逆序数

. , 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) 其 中 为行标排列 的逆序数 阶行列式 亦可定义为 t p p p D n D n p p p n p p p t a a a n n    =  −

n阶行列式的性质 1)行列式与它的转置行相等即D=D 2)互换行列式的两行列行列式变号 3)如果行列式有两行列完全相同则此行列式 等于零 4)行列式的某一行列中所有的元素都乘以同 数k,等于用数k乘此行列式

, . 4) ( ) . 3) ( ) , 2) ( ), . . 一 数 等于用数 乘此行列式 行列式的某一行列中所有的元素都乘以同 等于零 如果行列式有两行列 完全相同则此行列式 互换行列式的两行列 行列式变号 行列式与它的转置行列式相等 即 1) , k k D D T = n阶行列式的性质:

5)行列式中某一行(列的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面 6)行列式中如果有两行列元素成比例则此行列 式为零 7)若行列式的某一列行)的元素都是两数之和则 此行列式等于两个行残之和 8把行列式的某一列行)的各元素乘以同一数然 后加到另一列行)对应的元素上去行列式的值不变

( ) , . 8) ( ) , . 7) ( ) , . 6) ( ) , . 5) ( ) 后加到另一列 行 对应的元素上去行列式的值不变 把行列式的某一列行 的各元素乘以同一数然 此行列式等于两个行列式之和 若行列式的某一列行 的元素都是两数之和则 式为零 行列式中如果有两行列 元素成比例则此行列 提到行列式符号的外面 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以

行列式按行(列)展开: 1)余子式与代数余子式 在m阶行列式中,把元素,所在的第行和第 j列划去后,留下来的-价阶行列式叫做元素 的余子式,记作M;记 1n=(-1)M A,叫做元素a的代数余子式

１）余子式与代数余子式 . ( 1) , 1 叫做元素 的代数余子式 的余子式，记作 ； 记 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 在 阶行列式中，把元素 所在的第行和第 i j i j i j i j i j i j i j i j A a A M M j n a n a i + = − − 行列式按行（列）展开：

2)关于代数余子式的重要性质 ∑aA=Dδ D,当=j k=1 0(0当≠ 或 ∫D当i= ik aijk 0当i≠j 当 其中00-10当≠j

２）关于代数余子式的重要性质     = =     = = =     = = =   = = 0, . 1, ; 0, . , ; 0, . , ; 1 1 i j i j i j D i j D i j D i j D i j j k i j n k i k kj i j n k ki a A a A 当 当 其中 当 当 或 当 当   