北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第二章 行列式（2.3）n级行列式

第三节n级行列式 定义由n2个数组成的n阶行列式 21 22 2n 2 等于所有取自不同行桐列的n个元素的 乘积的代数和∑(-1)an2…amn, 其中p1P2…pn为自然数2,…,n的一个排列, t为这个排列的逆序数

1 第三节 n级行列式 定义 ( 1) , 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2  − p p n pn t n n n n n n a a a n a a a a a a a a a n n        乘积的代数和 等于所有取自不同行不同列的 个元素的 由 个数组成的 阶行列式 为这个排列的逆序数． 其 中 为自然数 ，， ， 的一个排列， t p1 p2 pn 1 2  n

注(1)n级行列式的展开式中n!项 (2)n阶行列式的每一项是成于不同行和不同列的 n个元素的乘积构成 (3)一阶行列式a=a,注意不要与绝对值混淆 例|2 =2×(-3)-(-1)×4=-6+4=-2 213=1+18+12-9-4-6=12 321

2 注 (1) n级行列式的展开式中共有 n! 项. 例 2 1 2 ( 3) ( 1) 4 6 4 2 4 3− =  − − −  = − + = − − 1 2 3 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 3 2 1 = + + − − − = . (2) 个元素的乘积构成 阶行列式的每一项是由位于不同行和不同列的 nn (3) 一阶行列式| a |= a，注意不要与绝对值符号混淆

例求解下列行列式 9( (2)

3 例 求解下列行列式 6 5 4 3 2 1 (2) 4 3 2 1 (1)

解 2 (-1) (1234) 2a304=24 ce xf o ④r(654321) 1625a3443a52a61=-6!=-720

4 (1234) 11 22 33 44 1 2 ( 1) 24 3 4 a a a a  = − = (654321) 16 25 34 43 52 61 1 2 3 ( 1) 6! 720 4 5 6 a a a a a a  = − = − = − 解

一般的 =dd2…dn(对角线行列式) n(n (-1)2d1d2…d

5 一般的， 1 2 1 2 n n d d d d d d = （对角线行列式） 1 ( 1) 2 2 1 2 ( 1) n n n n d d d d d d − = −

12 例计算上三角行列式0a2…a2n 00 解展开式中项的一般邢式是a1n2n2…mn n-3 所以不为零的项只有a12mm 12 0 a 22 2n (12 nn ?

6 例 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1 展开式中项的一般形式是 . 1 p1 2 p2 npn a a a p n, n = 1, pn−1 = n − 3, 2, 1, pn−3 = n − p2 = p1 = 所以不为零的项只有 . a11a22 ann nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1  ( ) ( ) nn t n a a a  11 22 12 = −1 . = a11a22 ann 解

类似的,对于下三角行列式 00 0 0 2 0 n2 n 3 nn =41422

7 类似的，对于下三角行列式 an an an an n a a a     1 2 3 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 . = a11a22 ann

练习 01 (1)计算 0 答案:(-1)”n!

8 练习： . 0 1 0 2 0 1 (1) n  n − 计 算   答案： ( 1) ! 1 n n− −

12 X (2)已知(x)= 求x3的系数 32x1 IX 解 由n级行列式的定义,f(x)为一个x的多项式函数 且最高次幂为B.显然含x3的项仅有两项 τ(1234) a23a4和(-1) z(1243) 11422034043 即x和-2x3项 所以(x)中x3的系数为1

9 . 1 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 (2) ( ) 已 知 ， 求x3 的系数 xx x x f x − = 解 3. ( ) 且最高次幂为 由n级行列式的定义， f x 为一个x的多项式函数， 2 . ( 1) ( 1) 3 3 1 1 2 2 3 4 4 3 (1243) 1 1 2 2 3 3 4 4 (1234) 3 即 和 － 项 和 ， 显然含 的项仅有两项： x x a a a a a a a a x   − − ( ) 1. 3 所以f x 中 x 的系数为−

由于行列式的行和列的地位是一样的,我们 交换行列式表达式中的行和列的位置,可以 得到另外一种等价定义 n级行列式的等价定义 定义 2n ∑(-1)“”a1an2 小J2…:Jn 其中∑表示对23,…,n的所有排列 h1l2…n

10 n级行列式的等价定义 定义 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n n n i i i i i i n j j j n n nn a a a a a a a a a a a a  = −  1 2 3 , . 1 2 其中 表示对、、， n的所有排列 n i i i    由于行列式的行和列的地位是一样的，我们 交换行列式表达式中的行和列的位置，可以 得到另外一种等价定义