北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第一章 多项式（1.1）数域

§11数域 、数域 二、数域的性质 数学归纳法

一、数域 二、数域的性质 三、数学归纳法 §1.1 数域

数域 Def 设P是由一些复数组成的集合,其中包括 0与1,如果P中任意两个数的和、差、积商(除 数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域 例:复数集C、实数集R、有理数集Q都是数域。 注:自然数集N,整数集Z都不是数域

一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 例:复数集C、实数集R、有理数集Q都是数域。 注：自然数集N，整数集Z都不是数域． Def

Remark. 1.若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中,则说数集P对这个运算是封闭的 2.数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数 集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0) 是封闭的,则称集P为一个数城

Remark: 1. 若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2. 数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．

例1.证明:数集Q(√2)={q+b2abeg} 是一个数域 证:0=0+02,1=1+0√2,:0,1∈Q(√2) 又对vx,y∈Q(√2,设x=a+b2,y=c+d√2, a,b,C,d∈Q,则有 x±y=(a±c)+(b±d)2∈Q(√2) x·y=(ac+2b)+(ad+bc)2∈Q(2) 设a+b2≠0,于是a-b2也不为0

是一个数域． 例1．证明：数集 Q a b a b Q ( 2 ) 2 | , = +    证： 0 0 0 2, 1 1 0 2, = + = + 又对   x y Q , ( 2 ), 设 x a b y c d = + = + 2, 2, 则有 x y ac bd ad bc Q  = + + +  ( 2 ) ( ) 2 ( 2 )   0,1 ( 2 ) Q a b c d Q , , , ,  x y a c b d Q  =  +   ( ) ( ) 2 ( 2 ), 设 a b +  2 0, 于是 a b − 2 也不为0．

(否则,若a-b√2=0,则a=b2, 于是有=√2∈Q, 或a=0,b=0→a+b√2=0.矛盾) c+d√2(+d√2)a-b2) a+b√2(a+b√2)(a-b√2) ac-2bd ad-bc a2-2b× 2∈Q. a2-2b Q(2)为数域 类似可证Q()={+b1,b∈,=√是数域

或 a b = = 0, 0 矛盾） （否则，若 a b − = 2 0, 则 a b = 2, 2 , a Q b 于是有 =   + = a b 2 0. 2 ( 2 )( 2 ) 2 ( 2 )( 2 ) c d c d a b a b a b a b + + − = + + − 2 2 2 2 2 2 . 2 2 ac bd ad bc Q a b a b − − = +  − −  Q( 2 ) 为数域． 类似可证 Q i( ) = a bi a +  = − ,b Q i , 1 是数域

例2.设P是至少含两个数的数集,证明:若P任 意两个数的差与商(除数≠0)仍属于P,则P为 一个数域 证:由题设任取a,b∈P,有 0=a-a∈P,1=,∈P(b≠0),a-b∈P, ∈P(b≠0),a+b=a-(0-b)∈P, b≠0时ab=∈P,b=0时,ab=0∈P. 所以,P是一个数域

例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 证：由题设任取 a b P , ,  有 0 , = −  a a P 1 ( 0), b P b b =   a b a b P + = − −  (0 ) , a b P −  , ( 0), a P b b   所以，P是一个数域． 1 1 0 , b b ab P  =  时, b ab P = =  0 0 . 时

二、数的性质 .··,·,·带···,,········,·····,·,·带····,,·,·带····,,······,·, 定理:任意数域P都包括有理数域Q 即,有理数域为最小数域 证明:设P任意一个数城.由定义可知, 于是有0∈P,1∈P Vm∈z+,m=1+1+…+1∈P

二、数域的性质 定理: 任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 于是有 0 1 .   P P ， m Z m P , 1 1 1 +   = + + + 

进而有 Vm,n∈zm ∈P 0 ∈P 而任意一个有理数可表成两个整数的商, .ocP

进而 有 , , , m m n Z P n +    而任意一个有理数可表成两个整数的商，   Q P. 0 . m m P n n − = − 

Remar 数环:设非空数集,若 Va,b∈P,a±b∈P,a·b∈P 则称P为一个数环 例如,整数集z就作成一个数环

设P为非空数集，若 则称P为一个数环． Remar k       a b P a b P a b P , , , 例如，整数集Z 就作成一个数环． 数环:

三、数学归纳法 第一数学归纳法 设S是一个与自然数有关的命题,且满足 1)当的,成立 2)假设当n=k(k∈N成立,则 当n=1,S成立

三、数学归纳法 1）当 时，S成立 第一数学归纳法 设S是一个与自然数有关的命题，且满足． 2）假设当 时，S成立，则 n n = 0 0 n = k k N k n (   , ) 当 n = k 时， + 1 S成立