北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第九章 欧氏空间（9.3）同构

3回构 、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质

1 一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质

、欧氏空间的同构 定义:实数域R上欧氏空间Ⅴ与V称为同构, 如果由Ⅴ到V有一个1-1对应σ,适合 1)σ(a+B)=o(a)+o(B), 2)oka)=kola), va,B∈V,Vk∈R 3)(o(a),a(B)=(a,B), 这样的映射σ称为欧氏空间V到v的同构映射

2 一、欧氏空间的同构 定义： 实数域R上欧氏空间V与V'称为同构， 如果由V到V'有一个1－1对应  ，适合 1) ( ) ( ) ( ),        + = + 2) ( ) ( ),     k k =      , , V k R 3) ( ), ( ) ( , ), (      ) = 这样的映射  称为欧氏空间V到V'的同构映射

二、同构的基本性质 1、若σ是欧氏空间V到的同构映射,则σ也是 线性空间V到V同构映射. 2、如果σ是有限维欧氏空间V到V"的同构映射, dimv= dimy 3、任一n维欧氏空间ⅴ必与R同构

3 1、若  是欧氏空间V到V'的同构映射，则  也是 线性空间V到V'同构映射. 2、如果  是有限维欧氏空间V到V'的同构映射， 则 ' dim dim . V V = 3、任一 n 维欧氏空间V必与 同构. n R 二、同构的基本性质

证:设V为n维欧氏空间,E1,62…,En为V的一组 标准正交基,在这组基下,V中每个向量a可表成 c=x1E1+XE+…+x ∈R nn 作对应a:→R",σ(a)=(x1,x2,…,xn) 易证a是V到R"的1-1对应 且σ满足同构定义中条件1)、2)、3), 故σ为由V到R”的同构映射,从而V与R"同构

4 标准正交基， 证： 设V为 n 维欧氏空间，    1 2 , , , n 为V的一组 在这组基下，V中每个向量  可表成 1 1 2 2 , n n i     = + + +  x x x x R 作对应 1 2 : , ( ) ( , , , ) n    V R x x x → = n 易证  是V到 的 对应. n R 1 1 − 且  满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 的同构映射，从而V与 同构. n  R n R

4、同构作为欧氏空间之间的关系具有: ①反身性;②对称性;③传递性 ①单位变换/是欧氏空间ⅴ到自身的同构映射 ②若欧氏空间Ⅴ到V的同构映射是σ,则σ是 欧氏空间ⅴ到V的同构映射 事实上,σ首先是线性空间的同构映射. 其次,对Va,B∈V,有 (a,B)=(a(a'(a)a(o'()=(o'(a,a) 为欧氏空间ⅴ到Ⅴ的同构映射

5 ①反身性；②对称性；③传递性. 4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ① 单位变换 是欧氏空间V到自身的同构映射. V I ② 若欧氏空间V到V'的同构映射是  ，则 是 1  − 其次，对    , , V ' 有 ( , )   事实上，  首先是线性空间的同构映射. 欧氏空间V'到V的同构映射. ( ) 1 1       ( ( )), ( ( )) − − = ( ) 1 1     ( ), ( ) − − = 为欧氏空间V'到V的同构映射. 1  − 

③若σ,T分别是欧氏空间V到V、V到V的同构映射, 则o是欧氏空间ⅴ到v的同构映射. 事实上,首先,τσ是线性空间Ⅴ到ν的同构映射. 其次,对Va,B∈V,有 (zo(ax),o()=(x((a),(o(6)) =(a(ax)() (a,B) cG为欧氏空间Ⅴ到v的同构映射

6 ③ 若  , 分别是欧氏空间V到V' 、V'到V"的同构映射， 则  是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先，  是线性空间V到V"的同构映射. (    ( ), ( )) = (    ( ), ( )) 其次，对    , , V 有 = (      ( ( )), ( ( ))) = ( , )     为欧氏空间V到V"的同构映射

5、两个有限维欧氏空间V与V同构 d dimv=dimv

7 5、两个有限维欧氏空间V与V'同构 ' dim dim . V V =