北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第二章 行列式（2.4）n 级行列式的性质

第四节n级行列式的性质 性质1行列式与其转置行列式相等,即

1 第四节 n 级行列式的性质 性质1 行列式与其转置行列式相等，即 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =

性质2 行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面,即 12 12 In ke 2 k a n 1 2 n n 推论 行列式某一行(列)为零,则行列式为零 2

2 n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a      1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k      1 2 1 2 11 12 1 = 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面，即 性质2 推论 行列式某一行（列）为零，则行列式为零

性质3若行列式的某一列(行)的元素 都是两数之和例如 12 1;+ In 22…(a2;+a2;)…a2n D 21 nI n2 …: nn 则D等于下列两个行列式之和: li D 2i 2 21 2 2n 十 nn nI

3 性质3 若行列式的某一列（行）的元素 都是两数之和,例如 n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D           ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 +  +  +  = 则D 等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D                        = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1

性质4如果行列式的两行(列)对应于元素 都相等,则行列式为零 证明设 l141 12 ∑(-1) (1…j…J…J) kjk 且第行和第行相同,即an1=a,j=1,2,…,n

4 性质4 如果行列式的两行（列）对应于元素 都相等，则行列式为零. 证明 设 ( 1) , 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 =  − n i k n i k n j j j i j kj n j j j j j n n n n k k kn i i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a                      i k a a j 1,2, ,n. 且第 行和第 行相同，即 i j = kj， = 

由于展开式中,项 和 τ(h…jk…j…n) n]n 同时出现, 并且因为n=a,a1=a,所以两项的绝对值相 另外,由于排列………和;…j……奇偶性 正好相反,所以上述两的和为零 容易推知,行列式展中的项总可以按上递彩式 两两配对,从而行列式值为零

5 . . 1 1 正好相反，所以上述两项的和为零 另外，由于排列 和 奇偶性 并且因为 ， ，所以两项的绝对值相同 i k n k i n i j kj kj i j j j j j j j j j a a a a i i k k       = = 同时出现， 和 由于展开式中，项 k i n k i n i k n i k n j i j kj n j j j j j j i j kj n j j j j j a a a a a a a a             1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( 1) ( 1)   − − 两两配对，从而行列式的值为零. 容易推知，行列式展开式中的项总可以按上述形 式

性质5行列式两行(列)对应成比例,则 列式为零 性质6把行列式的某行(列)的倍数加到 另一行(列),行列式不变 性质7交换行列式的两行(列),行列式 反号

6 性质5 行列式两行（列）对应成比例，则行 列式为零. 性质6 把行列式的某一行（列）的倍数加到 另一行（列），行列式不变. 性质7 交换行列式的两行（列），行列式 反号

证明 12 2 aL2:+ m性质61 a. +a k2 12 nn 2

7 证明 11 12 1 11 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in i k i k in kn i k k k kn k k kn n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a r r a a a a a a a a a a a a + + + + 性质6

12 12 ln 性质611+0 a1.+c 性质6k k2 k 2 2 1 2

8 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n k n kn i i in n n nn a a a a a a a a a a a a = − 11 12 1 11 12 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 n n i k in kn k k kn k i i k i in i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a r r r r a a a a a a a a a a a + + − + − − − − − 性质6 性质6

例1求 6 b b b D=6 b b b 6 b b 解 a+(n-1)ba+(n-1)b b Fi+2+ b b

9 例1 求 n a b b b b a b b D b b a b b b b b a = 解 Dn b b a b a b a n b a n b a n b r r rn         ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 + − + − + − + + +

b b =[a+(n-1)b]6 b a bbb…a b 6 0 0 a+(n-1)b]b0 b b00 =[a+(n-1)b](a-b)

10 b b b a b b a b b a b b a n b         1 1 1  1 = [ + ( −1) ] b a b b a b b a b a n b − − − = + −          0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 [ ( 1) ] 1 [ ( 1) ]( ) − = + − − n a n b a b