北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第四章 矩阵（4.4）矩阵的逆

第四节短阵的逆 在数的运算中,当数≠0时,有 aa=aa=l 其中a1=1为a的倒数,(或称a的逆); 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中 的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A, 使得A4=AhA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 第四节 矩阵的逆 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得

定义7对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B 使得 AB= BA=E, 则说矩阵是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 1-1 1/212 例设 B 1/21/2 AB=BA=E,∴B是A的一个逆矩阵

定义7 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A 使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵

说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵,则有 AB= BA=E. AC=CA=E 可得B=EB=(C4)B=C(AB)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的,即 B=C=A-

说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A

例设A 10;求4的逆阵 解用待定系数法是A的逆矩阵 AB= C 2a+c2b+d(10 b 01

例 设 , 1 0 2 1       − A = 求A的逆阵. 解 设  是 的逆矩阵,      = c d a b B A 则             − = c d a b AB 1 0 2 1       = 0 1 1 0        =      − − + +  0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法

2a+c=1, 2b+d=0. C b=1, d=2. 又因为 AB BA 0 2 0-1 所以

       − = − = + = + =  1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c        = = = − =  2. 1, 1, 0, d c b a 又因为       − 1 0 2 1       − 1 2 0 1       − 1 0 2 1 =       − 1 2 0 1 , 0 1 1 0       = 所以 . 1 2 0 1 1       − = − A AB BA

伴随矩阵 定义9行列式4的各个元素的代数余子式An所 构成的如下矩阵 nA2…A2称为矩阵A 的伴随矩阵 In 2n 性质AA=AA=AE 证明设A=(q记A’=(n)则 b=a14n+a2412+…+amn4n=A6

定义9 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵. A Aij               =  n n nn n n A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 性质 AA = A A = AE.   证明 ( ), 设 A = aij ( ), AA = bij 记  则 bij = ai1Aj1 + ai 2Aj2 ++ ainAjn , = A ij 称为矩阵 的伴随矩阵. A 伴随矩阵

故A=(46n)=4(6n)=AE 同理可得 A=|∑4l|=(4)=4(5)=4E =1 如果d=A≠0,有 A(,A)=(,A)A=E

故 ( ) AA = A ij  ( ) = A  ij = AE. 同理可得         = =  n k AA Akiakj 1 ( ) = A ij ( ) = A  ij = AE. ) . 1 ) ( 1 ( 0, * * A A E d A d A d A = = =  如 果 有

定理3矩阵A可逆的充要条件是A≠0,且 其中4为矩阵4的伴随矩阵 证明若A可逆,即有A使44=E 故AA1=E=1,所以A≠0

定理3 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1  = A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1  = = − 故 A A E 所以A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 

当A≠0时, a1A1+a1242+…+a1nAn=4 (nAn+amAn+.+mA=A

当A  0时,                             =  n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A ,               = A A A A O O 

AA AA=AA=AE→A=A=E, 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当4=0时,4称为奇异矩阵当A≠O时,A称为非奇 异矩阵 由此可得是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵

AA = A A = AE   A E, A A A A  A = =   . 1 A A A  − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A  时 A称为非奇 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵