北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性空间（6.1）集合

集合 1、定义 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合; 组成集合的这些事物称为集合的元素. ☆常用大写字母A、B、C等表示集合; 用小写字母a、b、c等表示集合的元素 当a是集合A的元素时,就说a属于A,记作:a∈A; 当a不是集合A的元素时,就说a不属于A,记作:a≠A

1 一、集合 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作： a A  ； 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： a A  1、定义 组成集合的这些事物称为集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． ☆

◇注:关于集合没有一个严谨的数学定义,只是 有一个描述性的说明.集合论的创始人是19世纪中 期德国数学家康托尔(G. Cantor),他把集合描 述为:所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的彼 此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结 果:集合中的那些事物就称为集合的元素.即,集合 中的元素具有:确定性、互异性、无序性

2 ◇注：关于集合没有一个严谨的数学定义，只是 有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中 期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描 述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼 此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结 果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合 中的元素具有：确定性、互异性、无序性

☆集合的表示方法一般有两种:描述法、列举法 描述法:给出这个集合的元素所具有的特征性质 M={x|x具有性质P} 列举法:把构成集合的全部元素一一列举出来 19a 1 例1M={(x,y)x2+y2=4x,y∈R 例2N={0,1,2,3,…},2Z={0,+2,+4,±6

3 ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例1 2 2 M x y x y x y R = + =  {( , ) 4, , } 例2 N＝ {0,1,2,3, } ， 2Z＝ {0, 2, 4, 6, }  M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛a1，a2，…，an｝

☆空集:不含任何元素的集合,记为q 注意:{g}≠ 约定:空集是任 2、集合间的关系 意集合的子集合. ☆如果B中的每一个元素都是A中的元素,则称B是 A的子集,记作BcA,(读作B包含于A) BcA当且仅当Vx∈B→x∈A ☆如果A、B两集合含有完全相同的元素,则称A与 B相等,记作A=B A=B当且仅当A∈B且BcA

4 2、集合间的关系 ☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B A  ，（读作B包含于A） B A  当且仅当     x B x A ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ． 注意：｛φ｝≠φ ☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与 B相等，记作A＝B. A＝B当且仅当 A B  且 B A  约定：空集是任 意集合的子集合

3、集合间的运算 交:A∩B={xx∈A且x∈B}; 并:儿∪B={xx∈减或x∈B} 显然有,A∩BcA;AA∪B

5 3、集合间的运算 交： A B x x A x B =   { } 且 ； 并： A B x x A x B =   { } 或 显然有， A B A A A B   ;

二、映射 1、定义 设M、M是给定的两个非空集合,如果有一个对 应法则,通过这个法则对于M中的每一个元素a, 都有M中一个唯一确定的元素a与它对应,则称σ为 M到M的一个映射,记作::M→M'或M—M 称a为a在映射σ下的象,而a称为a′在映射a下的 原象,记作a)=a或:a>n

6 二、映射 设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a 称为a ´在映射σ下的 M到M´的一个映射，记作 :  : ' M M → 或 M M ' ⎯⎯→ 原象，记作σ(a)＝a ´ 或  : . a a  1、定义

注①设映射a:M→M,集合σ(M)={o(a)a∈M}, 称之为M在映射σ下的象,通常记作Imσ 显然, Imo cm ②集合M到M自身的映射称为M的一个变换 例3判断下列M到M′对应法则是否为映射 1)M={a,b,c}、M={1,2,3,4 G:o(a)=1,o(b=1,σ(c)=2 (是) 6:(a)=1,6(b=2,0(c)=3,6(c)=4 (不是) τ:τ(b)=2,(c)=4 (不是)

7 注:①设映射  : ' M M → , 集合   ( ) { ( ) } M a a M =  ， 称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ． ②集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换． 例3 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4 显然， Im '   M （不是） （是） （不是）

2)M=P,M=P,(P为数域) 0:o(4)=4|,VA∈Pn (是) 3)M=P,M=PW",(P为数域) r:()=aE,Va∈RE为n级单位矩阵)(是) 4)M、M为任意两个非空集合,a是M中的一个 固定元素.a:o(a)=an,a∈M (是)

8 2）M＝ ，M´＝P，（P为数域） n n P  σ：σ(A)＝|A|， n n A P    3）M＝P，M´ ＝ ，（P为数域） n n P  τ：τ(a)＝aE，  a P （E为n级单位矩阵） 4）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 固定元素. σ：σ(a)＝a0，  a M （是） （是） （是）

例4M是一个集合,定义/ I(a)=a,Va∈M 即Ⅰ把M上的元素映到它自身,Ⅰ是一个映射, 称为M上的恒等映射或单位映射 例5任意一个在实数集R上的函数y=x) 都是实数集R到自身的映射,即,函数可以看成是 映射的一个特殊情形

9 例4 M是一个集合，定义I： I(a)＝a ，  a M 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 例5 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x) 都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是 称为 M 上的恒等映射或单位映射． 映射的一个特殊情形．

2、映射的乘积 设映射σ:M→M,z:M→M",乘积t 定义为:oO(a)=(O(a) Va∈M 即相继施行o和τ的结果,z。姑M到M"的一个 映射 注:①对于任意映射a:M→>M',有 MOOFOOIM=O ②设映射σ:M→>M,τ:M"→>M",v:M"→>M", 有(vyoz)oa=yo(z0)

10 2、映射的乘积 设映射   : ', : ' '' M M M M → → ， 乘积   定义为：   (a)＝τ(σ(a))  a M 即相继施行σ和τ的结果，   是 M 到 M" 的一个 映射． ①对于任意映射  : ' M M → ，有 M M I I     = = ②设映射    : ', : ' '', : '' ''' M M M M M M → → → ， 有 ( ) ( )       = 注：