北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第三章 线性方程组（3.2）n 维向量空间

二、n维向量空间 n维向量的概念 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由 数域P中n个有次序的数a1,a2,…,an所组 成的数组,这n个数称为该向量的个分量,第 i个数a,称为第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为复数的向量称为复向量

二、 n 维向量空间 定义2 成的数组， 数 域 中 个有次序的数 所 组 所谓数域 上一个 维向量就是由 P n a a an P n , , , 1 2  分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. n 维向量的概念 . 个 数 称为第 个分量 这 个数称为该向量的 个分量，第 i a i n n i

例如 (1,2,3,…,n) n维实向量 (1+2i,2+3i,,n+(n+1)) n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量 n维向量通常用a,B,…,a,b,…等表示,例如 19u29

例如 (1,2,3,  ,n) (1 + 2i,2 + 3i,  ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 n维向量通常用 ,  ,  ,a,b,  等表示,例如 ( , , , ) a = a1 a2  an

2.向量的运算 定义3如果n维向量 1,u29 ,)B=(B,月2,…,Bn 的对应分量相等,即a1=B,i=1,2,…,n 就称为这两个向量相等。记作a=B 定义4n维向量 y=(a1+B1,a2+B2,…,Cn+Bn) 称为向量 (a1,a2…,an)6=(A1,B2,…,Bn) 的和,记为 r=a+B

2. 向量的运算 ( , , , ) a = a1 a2  an 定义3 如果n维向量 ( , , , )  = 1  2   n 的对应分量相等，即  i =  i i = 1,2,  ,n 就称为这两个向量相等。记作  =  定义4 n维向量 ( , , , ) 1 1 2  2 n  n  = + +  + 称为向量 ( , , , ) a = a1 a2  an ( , , , )  = 1  2   n 的和，记为  = + 

由定义有向量加法满足 交换律a+B=B+a 结合律a+(B+y)=(a+B)+y 定义5分量全为零的向量 (0,0,…,0) 称为零向量,记为0;向量(-a1,-a2,…-an 称为向量a=(a1,a2…,an)的负向量,记为-a 显然,对于任意向量都有 a=+0 a+(-a)=0

由定义有向量加法满足 交换律  +  =  + 结合律  + ( + ) = ( +  ) + 定义5 分量全为零的向量 (0,0,  ,0) 称为零向量，记为0 ； 显然，对于任意向量 a 都有 ( , , , ) 1 2 n −a −a  −a ( , , , ) 1 2 n a = a a  a 的负向量，记为 −a 向量 称为向量 ( ) 0 0 + − = = +   a 

定义6a-B=a+(-B) 定义7设k为数域P中的数,向量 (ku1,kan2,…,kun) 称为向量a=(a1,a2,…,an)与数k的数量乘积, 记为ka 由定义立即有 k(a+B)=ka + kB (k +Da= ka+la kdla=ckd)a (8) la=

定义6 a −  =  + (− ) 定义7 设k为数域P中的数，向量 ( , , , ) ka1 ka2  kan 称为向量 a = (a1 ,a2 ,  ,an ) 与数k的数量乘积， 由定义立即有 1 (9) ( ) ( ) (8) ( ) (7) ( ) (6)           = = + = + + = + k l kl k l k l k a k k 记为 ka

由(6)(9)或由定义有 0c=0 (-1)a=-a 0=0 若k≠0且a≠0,那么 人a≠0 定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体 同时考虑定义在它们上面的加法和数量乘法,称 为数域P上的n维向量空间

由(6)—(9)或由定义有 0 0 ( 1) 0 0 = − = − = k    0 0 0,      k 若k 且 那么 定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体， 同时考虑定义在它们上面的加法和数量乘法，称 为数域P上的 n 维向量空间

向量 解析几何 (n≤3) 线性代数 坐 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 标 几何形象:可随意 代数形象:向量的 平行移动的有向线段 坐标表示式 系 a=(1,25n

向 量 解析几何 (n  3) 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式 ( , , , ) 1 2 n T a = a a  a 坐 标 系

空间 解析几何 (n≤3) 线性代数 点空间:点的集 几何形象:空间 坐标系 向量空间:向量的集 代数形象:向量空 直线、曲线、空间 间中的平面 平面或曲面 (r, 3,z)ax+by+c=d r=(x, ,z)ax+by+cz=d P(x,v, 2) 对应 r=(x,y’,z

空 间 (n  3) 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐 标 系 代数形象： 向量空 间 中 的 平 面 r x y z ax by cz d T =( , , ) + + = 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 (x, y,z)ax+by+cz=d P(x, y,z) r (x, y,z) T = 一 一 对 应

n>3时,n维向量没有直观的几何形象 R"=x=(xI 19299n 19299n ∈R 叫做n维向量空间 丌={x=(x,x2,xn)a1x+a2x2+…+anxn=b 叫做维向量空间R"中的n-1维超平面

R x x x xn x x xn R n T = =( 1 , 2 ,  , ) 1 , 2 ,  ,  x x x xn a x a x an xn b T  = =( 1 , 2 ,  , ) 1 1+ 2 2++ = 叫做 n 维向量空间． n  3 时， n 维向量没有直观的几何形象． 叫做 维向量空间 R 中的 维超平面． n n n − 1

n维向量的实际意义 确定飞机的状态,需 要以下6个参数: 机身的仰角 机翼的转角 y(-丌<ys丌) 机身的水平转角6(0≤0<2x) 飞机重心在空间的位置参数P(x2y,z) 所以,确定飞机的状态,需用6维向量 a=(x,y,z,q,y,6)

确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角  (0    2 ) 机身的仰角 ) 2 2 (     −   机翼的转角  (−    ) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a = (x, y,z,, , ) n 维向量的实际意义