北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第五章 二次型（5.4）正定二次型

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一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 四、内容小结

正定二次型 1、定义:实二次型f(x1,x2,…,x)若对任意 组不全为零的实数c1,c2…,Cn都有 ∫(C1,C2…,Cn)>0 则称∫为正定二次型 如,二次型f(x1x2…xn)=∑x是正定的; i=1 但二次型f(x1,x2…,x)=∑x不是正定的 §4正定二次型

§4 正定二次型 一、正定二次型 则称 f 为正定二次型. 1 2 ( , , , ) 0 n f c c c  如，二次型 是正定的； 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x = =  1 2 1 2 1 ( , , , ) n n i i f x x x x − = =  一组不全为零的实数 c c c 1 2 , , , n 都有 1、定义：实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 若对任意

2、正定性的判定 1)实二次型XX正定 分VX∈R",若X≠0,则XAX>0 2)设实二次型 f(u,x2r.,x,)=411t2-2+.+dx2 ∫正定分d1>0,i=1,2,…,n 证:充分性显然下证必要性,若∫正定,取 X0=(0,…,0,1,0,….,0),i=1,2,…,n 则f(X0)=d1x>0,∴d2>0,t=1,2,…,n §4正定二次型

§4 正定二次型 2、正定性的判定 1）实二次型 X AX 正定 , 0 n      X R X AX 若X 0,则  2）设实二次型 f 正定 0, 1,2, ,   = d i n i 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + 则 2 0 ( ) 0, 0, 1,2, , i i i f X d x d i n =    = 0 ( ) (0, ,0, 1,0, ,0) , 1,2, , i X i n = = 

3)非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明:设正定二次型f(x1,x2”…,xn)=XX 经过非退化线性替换X=CY化成 f∫(x1,x2…,xn)=Y《(CACY=g(y1,y2…,y) 任取一组不全为零的数k1,k2…,kn,令 X。=CY 则, f(c1,c2…,Cn)=XAX0=(CAC)Y=g(k1,k2y…,kn) §4正定二次型

§4 正定二次型 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 1 1 2 2 0 , n n k c k c X C k c         = = =             0 0 Y Y 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f x x x Y C AC Y g y y y = =   1 2 0 0 0 0 1 2 ( , , , ) ( ) ( , , , ) n n f c c c X AX Y C AC Y g k k k  = = =   任取一组不全为零的数 k k k 1 2 , , , , n 令 证明：设正定二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x X AX = 

又由于C可逆,Y0≠0,所以X≠0 1-25···,n 不全为0 g(k1,k2…,kn)=∫(c1,C2,…,Cn)>0 g(y,y2…,yn)正定 反之,实二次型g(y1,y2,…,yn)可经过非退化 线性替换Y=CX变到实二次型∫(x,x2…,xn 同理,若8正定,则∫正定 所以,非退化线性替换不改变二次型的正定性 §4正定二次型

§4 正定二次型 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 又由于C可逆， Y0  0 ，所以 X  0, 0 同理，若 g 正定，则 f 正定. 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 0 n n  =  g k k k f c c c 1 2 ( , , , ) n  g y y y 正定. 反之，实二次型 g y y y ( , , , ) 1 2 n 可经过非退化 即 不全为0. 1 2 , , , n c c c 线性替换 变到实二次型 1 2 ( , , , ), n Y X f x x x - 1 = C

4)(定理5)n元实二次型∫(x1,x2…,xn)正定 冷→秩∫=n=P(∫的正惯性指数) 证:设∫(x1,x2,,xn)经非退化线性替换X=CY 变成标准形 ∫(x1,x2,…,xn)=41y1+d2y2+…+ 由2),/正定分d1>0,i=1,2,…n 即,f的正惯性指数p=n=秩f §4正定二次型

§4 正定二次型  秩 f ＝n＝ p （ f 的正惯性指数）. 4）(定理5) n元实二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 正定 证：设 f x x x ( , , , ) 1 2 n 经非退化线性替换 X CY = 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d y d y d y = + + + 变成标准形 由2), f 正定  0, 1,2, , d i n i  = 即， f 的正惯性指数p＝n＝秩 f

5)正定二次型f(x1,x2…,xn)的标准形为 d1y12+l2y2+…+dnyn2,i>0,i=1,2,…,n 规范形为 2 十…+Z, §4正定二次型

§4 正定二次型 规范形为 2 2 2 1 2 . n z z z + + + 2 2 2 1 1 2 2 , 0, 1,2, , n n d y d y d y i i n + + +  = 5）正定二次型 f x x x ( , , , ) 1 2 n 的标准形为

二、正定矩阵 1、定义:设A为实对称矩阵,若二次型XAX 是正定的,则称A为正定矩阵 2、正定矩阵的判定 1)实对称矩阵A正定令A与单位矩阵E合同 勇定刈森却萍为+22+…+2n=2Bz 可见,正定矩 →存在可逆矩阵C,使A=CC.阵是可逆矩阵 A3与E利称魎隋粗逆矩憐任使亚对角矩阵合间 §4正定二次型

§4 正定二次型 1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X AX 正定二次型的规范形为 2 2 2 1 2 n z z z Z EZ + + + =  是正定的，则称A为正定矩阵. 2、正定矩阵的判定 2) 实对称矩阵A正定 二、正定矩阵 1）实对称矩阵A正定  A与单位矩阵E合同.  存在可逆矩阵C，使 A C C =  . A3与）E实对称矩阵 合同，即存在可逆矩阵 A正定  A与任一正对角矩阵合同 C，使 A C EC C C = =   . 可见，正定矩 阵是可逆矩阵

3)实对称矩阵A正定 为任一正对角矩阵,则 Vd, D 即,D与E合同 §4正定二次型

§4 正定二次型 3）实对称矩阵A正定  A与任一正对角矩阵合同. 即，D与E合同. 为任一正对角矩阵，则 若 1 2 , 0, 1,2, , i n d d D d i n d     =  =       1 1 2 2 1 1 1 n n d d d d D d d             =                      

例1、设A为n阶正定矩阵,证明 (1)A是正定矩阵 (2)k4(k>0是正定矩阵 (3)A是正定矩阵; (4)Am是正定矩阵(m为任意整数); (5)若B亦是正定矩阵,则A+B也是正定矩阵; §4正定二次型

§4 正定二次型 例1、设A为 n阶正定矩阵，证明 （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵； （2） kA k( 0)  是正定矩阵； （1） A −1 是正定矩阵； （3） A * 是正定矩阵； （4） A m 是正定矩阵（m为任意整数）；