北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.5）对角矩阵

§75对角矩阵 、可对角化的念 二、几个引 三、可对角化的条件 封角化的一般方法

1 §7.5 对角矩阵 一、可对角化的概念 二、几个引理 四、对角化的一般方法 三、可对角化的条件

可对角化的概念 定义1:设是唯线性空间V的一个线性变换, 如果存在V的一个基,使在这组基下的矩阵为对 角矩阵,则称线性变换∞何可对角化 定义2:矩阵A是数域P上的一个方阵.如果 存在一个P上的圾可逆矩阵X使X角 矩阵,则称矩阵A可对角化

2 定义1：设 A 是 n 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使 A 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换 A 可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果 存在一个 P 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 1 X AX − n X 一、可对角化的概念

二、几个引理 1.设w∈L(V,A是s的特征值,则 dimV≤x0的重数 即几何重数不超过代数重数.<证明 2(Th8)设为线性空间V的一个线性变换 如果5152,分刹是的属于互不相同的特征值 1,12,…k的特征向量,则51,52,性无关

3 即几何重数不超过代数重数. 证明. 二、几个引理 1. 设 A A  L V( ),  是 的特征值, 则 dimV  0 的重数 2.(Th.8)设 A 为n维线性空间V的一个线性变换, 如果    1 2 , , 分别是 k 的属于互不相同的特征值 A 1 2 的特征向量，则 线性无关. , ,   k 1 2 , , k    证明

二、几个引理 3.(Th9)设为线性空间V的一个线性变换 1,2,是的不同特征值,而5属形 特征值λ的线性无关的特征向量,i=1,2,…,k, 则向量51,…,5ln,,5线性无关 证明

4 证明. 二、几个引理 特征值 i 的线性无关的特征向量， i k = 1,2, , , 则向量 线性无关. 1 11 1 1 , , , , , , k r k kr     3.(Th.9) 设 A 为线性空间V的一个线性变换，    1 2 , , 是 k 的不同特征值，而 1 2 , , 是属于 i i i ir A   

、可对角化的条件 1(Th7)设为维线性空间V的一个线性变换 则可对角化分有个线性无关的特征向量 证明 2(Cor1)设的维线性空间V的一个线性变换, 若在域卿有个不同的特征值则可对角化 证明

5 若 A 在域 中有 P 个不同的特征值 n .则 可对角化 A 2.(Cor.1)设 A 为 维线性空间 n V的一个线性变换， 则 A 可对角化  有 A 个线性无关的特征向量 n . 三、可对角化的条件 1.(Th.7)设 A 为 维线性空间 n V的一个线性变换， 证明. 证明

3.(Co:2)在复数域C上的线性空间中, 如果线性变换的特征多项式没有重根,则司 对角化.(证明 4.s∈L(),可对角化→∑dmyx=n n=dimV,而1,42,…,λ是的全部特征值) 5.A∈L(V)可对角化 令dim=的重du

6 3. (Cor.2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 A 的特征多项式没有重根，则 A 可 对角化. 证明. 1 dim . , i t i V n     =  =  1 2 t (n= dim V ,而 , , 是A 的全部特征值) 4. A  L V( ), 可对角化 dim i  = V i 的重shu 5. A L V( ) 可对角化

6.设为n维线性空间的一个线性变换, 若在某组基下的矩阵为对角矩阵 D 则1)的特征多项式就是 f()=(-4)(4-2)…(-2) 2)对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯 确定的,们就是的全部特征根(重根按重数计算

7 6. 设 A 为n维线性空间V的一个线性变换， 若 A 在某组基下的矩阵为对角矩阵 1 2 n D        =       则 1） A 的特征多项式就是 f ( )        = − − − ( 1 2 )( ) ( n ) 2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一 确定的,它们就是 A 的全部特征根(重根按重数计算)

、对角化的一般方法 设为维线性空间V的一个线性变换,1,E2,…,En 为V的一组基,。在这组基下的矩阵为A 步骤: 1°求出矩阵A的全部特征值1,12…,2 2°对每一个特征值λ2,求出齐次线性方程组 (E-4)X=0,i=12…k 的一个基础解系(此即∞的属于λ,的全部线性无关 的特征向量在基61,42,…“,5n下的坐标)

8 三、对角化的一般方法 1° 求出矩阵A的全部特征值 1 2 , , , .   k 2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组 ( ) 0, 1.2. iE A X i k − = = 设 A 为维线性空间V的一个线性变换， 1 2 , , , n    为V的一组基， A 在这组基下的矩阵为A. 步骤: 的一个基础解系（此即 A 的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 2 下的坐标）. , , , n   

3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n,则 x有n个线性无关的特征向量1,m2,…,们n,从而 (或矩阵A)可对角化.以这些解向量为列,作一个 n阶方阵T,则T可逆,TAT是对角矩阵.而且 T就是基612,…En到基71,2,…n的过渡矩阵

9 3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则 （或矩阵A）可对角化. 以这些解向量为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且 1 T AT − A 有n个线性无关的特征向量    1 2 , , , , n 从而 A T就是基 到基 1 2 的过渡矩阵. , , , 1 2   n , , , n   

例1.设复数域上线性空间的线性变换在某组基 E1,E2,3下的矩阵为 001 A=010 100 问是否可对角化.在可对角化的情况下,写出 基变换的过渡矩阵

10    1 2 3 , , 下的矩阵为 0 0 1 0 1 0 1 0 0 A   =       基变换的过渡矩阵. 问 A 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出 例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 A 在某组基