北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第八章 λ矩阵（8.4）矩阵相似的条件

§4矩阵相似的条件

定理： 数字矩阵 A B E A E B , 相似  − −   与 等价

引理1: 设P为数域A,B∈P,若有P,Q∈P", 使E-A=P(E-B)Q① 则A与B相似 证:由P(AE-B)Q=PEQ0-PBQ =P0Q0-PB0=九E-A 得PQ=E,BBQ=A 即P=Q0,A=QBQ0 A与B相似

设P为数域 A B P , ,  n n 若有 0 0 , ， n n P Q P   则A与B相似. 证：由 ( ) P E B Q 0 0  − = − P Q P BQ 0 0 0 0 = − E A 得 0 0 0 0 P Q E P BQ A = = , 即 1 0 0 P Q , − = 引理1： ( ) 使   E A P E B Q − = − 0 0 ① ∴ A与B相似. 1 0 0 A Q BQ . − = = − P EQ P BQ 0 0 0 0

引理2: 对任意A∈Pm及任意-矩阵U(λ),V(x), 定存在礼-矩阵Q(λ),R()及U,V∈Pm, 使U(4)=(E-A)Q(4)+U0② ()=R(4)(xE-A)+V③

对任意 A P  n n 及任意 -矩阵 U V (  ), , ( ) ( ) ( ) ( ) 使 U E A Q U    = − + 0 ② ( ) ( )( ) V R E A V    = − + 0 ③ 一定存在 -矩阵 Q R (  ), ( ) 及 0 0 , , n n U V P    引理2：

证:设U(2)=D"+Dm1+…+Dm1+Dn 这里Da,D1,…,Dm∈P"",且D≠0. i)若m=0,则令Q(4)=0,U0=D i)若m>0,设 Q(4)=Q4m1+g4m2+…+gn22+Qn1, 这里Q2∈P"为待定矩阵.于是 (E-A)Q(4)=Qm+(2-4Q)m1+… +(Qk-4Qk-) 十· AO m-2 元-AO

证： 这里 0 1 , , , , 且 n n D D D P m   0 D  0. ( ) 1 0 1 1 , m m U D D D D     m m − 设 = + + + + − i) 若 m = 0, 则令 ( ) 0 0 Q U D  = = 0, . ii）若 m  0, 设 1 2 0 1 2 1 ( ) , m m Q Q Q Q Q     m m − − = + + + + − − 这里 为待定矩阵. n n Q P i   于是 ( ) 1 0 1 0 m m Q Q AQ   − = + − + ( 1 1 2 1 ) ( ) m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m   − + − + + − − − − − − (  E A Q − ) ( )

要使①式成立,只需取 C0=D0 O= D 2-A@ L=D+ a2 Q-A91=Dk即{Qk=Dk+AQ k-1 Om-i-aom-,=D 2m-=Dm_t aem_ aem-1+Uo=D U=D+AO 即可 同理可证②

要使①式成立，只需取 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 k k k m m m m m Q D Q AQ D Q AQ D Q AQ D AQ U D − − − − −  =  − =    − =   − =  − + =  即 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ − − − − −  =  = +    = +   = +  = +  即可. 同理可证②

定理: 设A,B∈P",则A与B相似 分特征矩阵AE-A与E-B等价 证:"→”若A与B相似,则存在可逆矩阵T, 使A=T-BT 于是E-A=玩E-TB6T=7(E-B)T 由定理6之推论,得E-A与AE-B等价

设 , ，则A与B相似 n n A B P    特征矩阵 E A − 与 E B− 等价. 定理： 证： " "  若A与B相似，则存在可逆矩阵T， 于是 ( ) 1 T E B T  − = − 由定理6之推论，得 E A − 与 E B− 等价. 1 A T BT. − 使 = E A − 1 E T BT − = −

"<"若λE-A与孔E-B等价, 则存在可逆一矩阵U(),V(),使 E-A=U()(E-B)() 由引理2,对于A,U(巩),V(4)存在λ一矩阵Q(), R()及U0,V∈P,使 U(4)=(E-A)Q(4)+U⑤ (4)=R(4)(E-A)+V。⑥

" "  若 E A − 与 E B− 等价， 则存在可逆  －矩阵 U V ( ), ( )   ，使     E A U E B V − = − ( )( ) ( ). ④ R( )  及 0 0 , ，使 n n U V P   由引理2，对于A， U V ( ), ( )   存在  －矩阵 Q( ),  ( ) ( ) ( ) U E A Q U    = − + 0 ⑤ ( ) ( )( ) V R E A V    = − + 0 ⑥

由④,有 U(x)(E-A)=(E-B)() =(E-B)[R(4)(2E-4)+ ()2-(xE-)R(x)(xE-4)=(xE-B) 比较两端,得 T=U(4)-(E-B)R(x)∈P⑦ T(E-a=(E-Bro

由④，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U E A E B V     − − = − ( ) ( )( )    E B R E A V0 = − − +     即， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U E B R E A E B V      0 −   − − − = −   比较两端，得 ( ) ( ) ( ) 1 n n T U E B R P    −  = − −  ⑦ ( ) ( ) T E A E B V   − = − 0 ⑧

下证T可逆 由⑦有,U()T=E-U(4)(E-B)R(x) 即E=U(4)T+U()(E-B)R() U (aT+(e-av(ar(a) [(E-A)Q()+U]7+(aE-A)V()R(2) 7+(E-)o(x)+(4)3(2) 比较两端,得 (E-4()+()2R(x)=0

下证T可逆. 由⑦有， U T E U E B R (    ) = − − ( )( ) ( ). 即 E U T U E B R = + − (    ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U T E A V R     − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1      E A Q U T E A V R 0 − = − + + −     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 U T E A Q V R 0     − = + − +     比较两端，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1     E A Q V R 0 − − + =    

U0T=E.故T可逆 于是死E-A=T(E-B) 由引理1,A与B相似 推论:设A,B∈Pm,则A,B相似 兮特征矩阵λE-A与九E-B有相同的不变因子 证:A,B相似E-A与E一B等价 分E-A与无E-B有相同的不变因子

故T可逆. 由引理1，A与B相似. 0  = U T E. ( ) 1 0   E A T E B V . − 于是 − = − 推论:设 , , 则 相似 n n A B P   A B,  特征矩阵 E A − 与 E B− 有相同的不变因子. 证: A B, 相似  E A − 与 E B− 等价.  E A − 与 E B− 有相同的不变因子