高等教育出版社：《数学建模与数学实验》课程教学资源（第3版）双层玻璃的功效

数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层厚度 为d的玻璃夹着一层厚度为的空气,如左图所示,据说这样做是为 了保暖,即减少室内向室外的热量流失 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失) 过程,并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如右图, 玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少 热量损失给出定量分析结果 墙 T 热传导方向 、模型假设 热量的传播过程只有传导,没有对流即假定窗户的密封性能 很好,两层玻璃之间的空气是不流动的; 室内温度T和室外温度保持不变,热传导过程已处于稳定 状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常 数 3.玻璃材料均匀,热传导系数是常数

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 1 双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度 为 d 的玻璃夹着一层厚度为 l 的空气，如左图所示，据说这样做是为 了保暖，即减少室内向室外的热量流失. 我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失） 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图， 玻璃厚度为 2d ）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少 热量损失给出定量分析结果. 一、模型假设 1. 热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能 很好，两层玻璃之间的空气是不流动的； 2. 室内温度 T1 和室外温度 T2 保持不变，热传导过程已处于稳定 状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常 数； 3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数

数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 符号说明 T一一室内温度 T2—一室外温度 d-—单层玻璃厚度 ——两层玻璃之间的空气厚度 T一一内层玻璃的外侧温度 T一—外层玻璃的内侧温度 k一一热传导系数 Q——热量损失 模型建立与求解 由物理学知道,在上述假设下,热传导过程遵从下面的物理规 律 厚度为d的均匀介质,两侧温度差为AT,则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q,与△T成正比,与 d成反比,即 AT 其中k为热传导系数 1.双层玻璃的热量流失 记双层窗内窗玻璃的外侧温度为rn,外层玻璃的内侧温度为n, 玻璃的热传导系数为k,空气的热传导系数为k2,由(1)式单位时 间单位面积的热量传导(热量流失)为: T-T。 T (2) d 由Q=k及=可得n-7=(7-T)-2k

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 2 二、符号说明 T1——室内温度 T2——室外温度 d ——单层玻璃厚度 l——两层玻璃之间的空气厚度 Ta——内层玻璃的外侧温度 Tb——外层玻璃的内侧温度 k ——热传导系数 Q——热量损失 三、模型建立与求解 由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规 律： 厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T ，则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 Q ，与 T 成正比，与 d 成反比，即 d T Q k  = （1） 其中 k 为热传导系数. 1. 双层玻璃的热量流失 记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 Ta ，外层玻璃的内侧温度为 Tb ， 玻璃的热传导系数为 1 k ，空气的热传导系数为 2 k ，由（1）式单位时 间单位面积的热量传导（热量流失）为： d T T k d T T k d T T Q k a a b b 2 2 1 1 1 − = − = − = （2） 由 d T T Q k − a = 1 1 及 d T T Q k b 2 1 − = 可得 1 ( 1 2 ) 2 k Qd Ta −Tb = T −T −

数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 再代入Q=k就将(2)中、消去,变形可得 Q=(-) s=h h (3) d(s+2) 2.单层玻璃的热量流失 对于厚度为2a的单层玻璃窗户,容易写出热量流失为: Q=k, 72 3.单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较(3)(4)有: 0 2 (5) O′s+2 显然,Q4)后QQ下降缓慢,可见h不 宜选得过大

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 3 再代入 d T T Q k a − b = 2 就将（2）中 Ta、Tb 消去，变形可得： ( ) d l h k k s h d s k T T Q = = + − = , , 2 ( ) 2 1 1 2 1 （3） 2. 单层玻璃的热量流失 对于厚度为 2d 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d T T Q k 2 1 2 1 −  = （4） 3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较（3）（4）有： 2 2 + = Q s Q （5） 显然， Q  Q . 为了获得更具体的结果，我们需要 1 2 k ,k 的数据，从有关资料可 知，不流通、干燥空气的热传导系数 4 2 2.5 10− k =  （J/cm.s.ºC），常 用玻璃的热传导系数 3 3 1 4 10 ~ 8 10 − − k =   （J/cm.s.ºC），于是 16 ~ 32 2 1 = k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们 作最保守的估计，即取 16 2 1 = k k ，由（3）（5）可得： d l h Q h Q = + =  8 1 1 （6） 4. 模型讨论 比值 Q Q 反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与 h = l d 有关，下图给出了 Q Q ~ h 的曲线，当 h 由 0 增加时， Q Q 迅 速下降，而当 h 超过一定值（比如 h  4 ）后 Q Q 下降缓慢，可见 h 不 宜选得过大

数学建模入门—一—双层玻璃窗的功效 1.06 0.02 四、模型的应用 这个模型具有一定的应用价值制作双层玻璃窗虽然工艺复杂 会增加一些费用,但它减少的热量损失却是相当可观的通常,建筑 规范要求h=ld≈4按照这个模型,Q/Q≈3%,即双层玻璃窗比用同 样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右不难发现,之所以 有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k2,而这 要求空气是干燥、不流通的作为模型假设的这个条件在实际环境下 当然不可能完全满足,所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果 差一些

数学建模入门——双层玻璃窗的功效 4 四、模型的应用 这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂 会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑 规范要求 h = l d  4.按照这个模型， Q Q  3% ，即双层玻璃窗比用同 样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右.不难发现，之所以 有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 2 k ，而这 要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下 当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果 差一些