《数学分析》课程电子教案（PPT课件）第九章 数项级数（9.5）无穷乘积

§5无穷乘积 无穷乘积的定义 力.设p,P,∵Pn,“(P≠0)是无穷可列个实数,我们称它 们的“积 为无穷乘积,记为∏pn,其中pn称为无穷乘积的通项或一般项 n=1

无穷乘积的定义 设 p1，p2，…， pn ，…（ pn  0）是无穷可列个实数，我们称它 们的“积” p1  p2  pn  为无穷乘积，记为  n=1 pn ，其中 pn 称为无穷乘积的通项或一般项。 §5 无穷乘积

与级数相类似,需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积∏Pn的“部分积数列”{Pn} P P2=P1:P2 P1"·P2P Pn=P1·P2 P P

与级数相类似，需要对上述的无穷乘积给出合理的定义。为此构 作无穷乘积   n=1 pn 的“部分积数列”｛Pn｝： P1 = 1 p ， P2 = p1 p2  ， P3 = p1 p2 p3   ， … Pn = p p pn   1 2 = = n k pk 1 ， …

定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P 则称无穷乘积∏pn收敛,且称P为它的积,记为 n=1 P P 如果{P}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏pn发散

定义 9.5.1 如果部分积数列｛ Pn ｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积  n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为   n=1 pn = P 。 如果｛ Pn｝发散或｛ Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积  n=1 pn 发散

定义9.5.1如果部分积数列{P}收敛于一个非零的有限数P 则称无穷乘积∏pn收敛,且称P为它的积,记为 n=1 P P 如果{P}发散或{P}收敛于0,则称无穷乘积∏pn发散 注意:当mP=0时,我们称无穷乘积∏pn发散于0,而不是 n→ 收敛于0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道,它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来

注意：当 n n P → lim = 0 时，我们称无穷乘积   n=1 pn 发散于 0，而不是 收敛于 0。在学习了无穷乘积收敛的充分必要条件后将会知道，它使 无穷乘积的收敛性与无穷级数的收敛性统一起来。 定义 9.5.1 如果部分积数列｛ Pn ｝收敛于一个非零的有限数 P， 则称无穷乘积  n=1 pn 收敛，且称 P 为它的积，记为   n=1 pn = P 。 如果｛ Pn｝发散或｛ Pn｝收敛于 0，则称无穷乘积  n=1 pn 发散

定理9.5.1如果无穷乘积∏pn收敛,则 (1)lim P=I n→) 2)m∏p m 证设∏Pn的部分积数列为{Pn},则 lim p=lim n→0 n→>P P m n=1 n→)00 n→0 n=m+1 P n=1

定理 9.5.1 如果无穷乘积  n=1 pn 收敛，则 (1) lim n→ Pn = 1； (2) m→ lim   n=m+1 pn = 1。 证 设  n=1 pn 的部分积数列为｛Pn｝，则 lim n→ n p =lim n→ n−1 n P P = 1； m→ lim   n=m+1 pn = m→ lim   =  = m n n n n p p 1 1 =1

为方便起见,我们常把p记为1+an,则定理951的(1)又可表 达为:如果无穷乘积∏(+an)收敛,则iman=0。 定理9.51的(1)可类比于级数收敛的必要条件:通项趋于0。作 为无穷乘积收敛的必要条件,它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如,设p 2n 2 ,则无穷乘 2 n+ n+1 n+1 积∏pn,∏qn,∏n都是发散的

为方便起见，我们常把 pn 记为 1 + an ，则定理 9.5.1 的(1)又可表 达为：如果无穷乘积   = + 1 (1 ) n an 收敛，则lim n→ an = 0。 定理 9.5.1 的(1)可类比于级数收敛的必要条件：通项趋于 0。作 为无穷乘积收敛的必要条件，它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如，设 pn= 2n +1 n ，qn = 1 2 n + n ，r2n = 2n +1 n ， 2n−1 r = 1 2 n + n ，则无穷乘 积   n=1 pn ，  n=1 qn ，  n=1 n r 都是发散的

例95.1设p (n=1,2,…),则部分积 n+1 k=1 123 234 n+ n+ 由血mP=0,可知无穷乘积∏1 发散于0 n=1 n+1

例 9.5.1 设 n p = 1 1 1 + − n （n = 1，2，…），则部分积 Pn = =       + − n k 1 k 1 1 1 = = + n k k k 1 1 = 4 1 3 3 2 2 1 +     n n  = 1 1 n + ， 由 n n P → lim = 0，可知无穷乘积  =       + − 1 1 1 1 n n 发散于 0

例9.5.2设pn=1 ,n=1,2,…,则部分积 (2m) (2k-1)(2k+1) (2k) 2k·2k 1·3·3·5·5·7…(2n-1)(2n+1) 2·2.4·46·6…(2n)2n) [(2n-1) (2n+1) (2n)! 为了判断部分积数列{P}的收敛性,考虑积分 sin"xdx 由例73.8,我们知道 (2 2n)! (2m)!2 2n+1

例 9.5.2 设 pn = 2 (2 ) 1 1 n − ，n = 1,2,…，则部分积 Pn ==         − n k 1 k 2 (2 ) 1 1 ==  − + n k k k k k 1 2 2 (2 1)(2 1) = 2 2 4 4 6 6 (2 )(2 ) 1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) n n n n               − + = 2 2 [(2 )!!] [(2 1)!!] n n − (2n +1)。 为了判断部分积数列｛ Pn｝的收敛性，考虑积分 I n = π 2 0 sin d n x x  ， 由例 7.3.8，我们知道n I 2 =  − (2 )!! (2 1)!! n n π 2 ， 2n+1 I = (2 1)!! (2 )!! n + n

因此 P 2n+1 由于12n1<2n<l2n1,可得 因为m2m=lm2n+1=1,由数列极限的夹逼性, lim p=lin 2n+1 于是得到无穷乘积门1-1]的收敛性,并且 (2n)

因此 π 2 P n = 2 1 2 n+ n I I 。 由于I 2n+1  I 2n  2n−1 I ，可得   2 +1 2 1 n n I I 2 1 2 1 + − n n I I ， 因为n→ lim 2 1 2 1 + − n n I I = n→ lim n n 2 2 +1 = 1，由数列极限的夹逼性， lim n→ Pn = lim n→ 2 2 1 2 π n n I I +       = 2 π ， 于是得到无穷乘积  =         − 1 2 (2 ) 1 1 n n 的收敛性，并且   =         − 1 2 (2 ) 1 1 n n = 2 π

将上式换一个形式表示,就得到著名的 Wallice公式 丌224466 2n 2n 2 33557 2n-12n+1

将上式换一个形式表示，就得到著名的 Wallice 公式 π 2 =  1 2  3 2  3 4  5 4  5 6  7 6  −  2 1 2 n n  2 +1 2 n n