高等教育出版社：《数学建模与数学实验》课程教学资源（第3版）第13讲 插值

数学建模与数学实验

数学建模与数学实验 插 值

实验目的 1.了解插值的基本内容 实验内容 [1]一维插值 2]二维插值 3]实验作业

实验目的 实验内容 1．了解插值的基本内容． [1]一维插值 [2]二维插值 [3]实验作业

维插值 、插值的定义 二、插值的方法 拉格朗旦插值 分段线性插值 三次样条插值 、用 MATLAB解插值问题 返回

拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用MATLAB解插值问题 返回

二维插值 、二维插值定义 二、网格节点插值法最邻近插值 分外绲性插值 线性插值 三、用MLAB解插值闻题网格节点数据的插值 散点数据的插值 返回

返回 二维插值 一、二维插值定义 二、网格节点插值法 三、用MATLAB解插值问题 最邻近插值 分片线性插值 双线性插值 网格节点数据的插值 散点数据的插值

维括值的定义 已知叶+1个节点(x,y)(=0,,…,m其中x 互不相同,不妨设=x<x<…<x=b 求任一插值点x(≠x1)处的插值y 节点可视为由 y=g(x)产生 g表达式复杂, 0 或无封闭形式 或未知

一维插值的定义 已知 n+1个节点 ( , ) ( 0,1, , , j j x y j n = 其中 j x 互不相同，不妨设 ), 0 1 a x x x b =   n = 求任一插值点 ( ) * j x  x 处的插值 . * y • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y 节点可视为由 y = g(x) 产生, g 表达式复杂, 或无封闭形式, 或未知. ◆ * x * y

构造一个(相对简单的)函数y=f(x)通过全部节点即 f(x)=y(j=0,1,…,n) 再用f(x)计算插值,即y=f(x) 0 1 X 返回

构造一个(相对简单的)函数 y = f (x), 通过全部节点, 即 ( ) ( 0,1, , ) j j f x y j n = = 再用 f (x) 计算插值，即 ( ). * * y = f x • • • • • 0 x 1 x n x 0 y 1 y ◆ * x * y 返回

拉格朗日 agrange) 已知函数(x)在n+1个点x0x1x处的函数值为 y0y1yn.求一n次多项式函数Pn(x),使其满足 Pn(x1)=y1=0,1 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 P(x)=∑L(x)y i=0 其中L(x)为n次多项式: (x)=(x x0)(x-x1)…(x-x=1)(x-x1)…(x-xn) (x1-x0)(x1-x1)…(x1-x121)(x1-x+)…(x1-xn) 称为抗格朗日插值基函数

称为拉格朗日插值基函数． 0 ( ) ( ) n n i i i P x L x y = =   已知函数f(x)在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn处的函数值为 y0 ,y1 ,…,yn ．求一n次多项式函数Pn (x)，使其满足： Pn (xi )=yi ,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li (x) 为n次多项式： 0 1 1 1 0 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x − + − + − − − − − = − − − − − 拉格朗日(Lagrange)插值

拉格朗日 agrange),值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: L(x)=2-x1y X-x y 0 三点二次(抛物)插值多项式: )(x-x)(x-x)2(x-x)(-x),(x-x)(x=x) y0+ + x)(x-x)(2-x)(2-x1 y2 (0 直接验证可知Ln(x)满足插值条件

拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: ( ) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 y x x x x y x x x x L x − − + − − = 三点二次(抛物)插值多项式: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 2 y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x −  − −  − + −  − −  − + −  − −  − = 直接验证可知, . L x n ( )满足插值条件

例 8(x)=1 -5≤x<5 1+x 2 采用拉格朗日多项式插值:选取不同插值 节点n+1个,其中n为插值多项式的次数,当1分 别取246.8.10时,绘出插值结果图形 To MATLAB lch(larg1) 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现录叫 Runge现象 返叵

拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 , 5 5 1 1 ( ) 2 −   + = x x g x 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点n+1个，其中n为插值多项式的次数，当n分 别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例 返回 To MATLAB lch(larg1)

分段线性插值 J X X:x X Ln(x)=∑y/(x) =0 计算量与n无关; 2x-1≤x≤ 1 ′n越大,误差越小 +1 1,(x) x列xx≤皿mL,(x)=8(x),x≤r≤孓 n→00 其他

分段线性插值 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , ( ) , 0, n n j j j j j j j j j j j j j j L x y l x x x x x x x x x x l x x x x x x = − − − + + + =  −    −    − =    −      其他 计算量与n无关; n越大，误差越小. n n n L x = g x x  x  x → 0 lim ( ) ( ), • • • • • • Ｏ x0 xj-1 xj xj+1 xn x y