高等教育出版社：《数学建模与数学实验》课程教学资源（第3版）第14讲 拟合

数学建模与数学实验 拟合

数学建模与数学实验 拟 合

实验目的 1.直观了解拟合基本内容. 2.掌握用数学软件求解拟合问题 实验内容 1,拟合问题引例及基本原理 2,用数学软件求解拟合问题 3,应用实例 4.实验作业

实验目的 实验内容 2. 掌握用数学软件求解拟合问题． 1. 直观了解拟合基本内容． 1. 拟合问题引例及基本原理． 4. 实验作业. 2. 用数学软件求解拟合问题． 3. 应用实例

拟合 1.拟合问题引例 2.拟合的基本原理

拟 合 2. 拟合的基本原理 1. 拟合问题引例

拟合问题引例1 已知热敏电阻数据:温度O)2053275.073.097 电阻R(92)7658268739421032 求60℃C时的电阻R 1100 + 1000 设R=at+b 900 a,b为待定系数 800 700 20 40 60 80 100

拟 合 问 题 引 例 1 温度t( ºC) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032 已知热敏电阻数据： 求60ºC时的电阻R． 20 40 60 80 100 700 800 900 1000 1100 设 R=at+b a,b为待定系数

拟合向题引例2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(=0注射300mg) ()0.250511523468 c(μg/m)19211815153614.101.899327455243.01 求血药浓度随时间的变化规律c(t) 作半对数坐标系(semi1o)下的图形 MATLAB(al) 10 c(t)=coe 10 C,k为待定系数 10 0 2 8

拟 合 问 题 引 例 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) 求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形 0 ( ) e , kt c t c c k − = 为待定系数 0 2 4 6 8 100 101 102 MATLAB(aa1)

曲线拟合问题的提法 已知一组(二维)数据,即平面上n个点(x)=1,,, 寻求一个函数(曲线)y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有 数据点最为接近,即曲线拟合得最好 ysf(r) 8为点(x)与曲线y=fx)的距离

曲 线 拟 合 问 题 的 提 法 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi ,yi ) i=1,…,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好． + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi ,yi ) i i 为点（xi ,yi ) 与曲线 y=f(x) 的距离

拟合与插值的关系 问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案: 若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题; 若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象 整体的变化趋势,这就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似,由于近似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同 的 实例:下面数据是某次实验所得,希望得到X和间的关系? f1.5396611.715618819620.621.1 MATLAB(cn

拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同 的． 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和f之间的关系？ x 1 2 4 7 9 12 13 15 17 f 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 MATLAB(cn) 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟 合． •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；

最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果:

最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25 已已已已已 spline 已已已已已已已 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 5 10 15 20 25 已已已已已 linest 已已已已已已已 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 已已已已已 nearest 已已已已已已已

曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路 第一步先选定一组函数r1(x),n2(x),…,rm(x),mm,令 fr=ar(x)+ar2(x)+.+am/m(x) (1) 其中a1,a2,…,am为待定系数 第二步:确定a1n2…,m的准则(最小二乘准则): 使n个点(x)与曲线y=x)的距离的平方和最小 记J/(a12a2,…an)=∑。2=∑[f(x1)-y ∑[ak(x)-y](2) i=1k=1 问题归结为,求a1,a2,…,am使J(a1,a2…,mn)最小

曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1 (x), r2 (x), …,rm(x), m<n, 令 f(x)=a1 r1 (x)+a2 r2 (x)+ …+amrm(x) （1） 其中 a1 ,a2 , …,am 为待定系数． 第二步: 确定a1 ,a2 , …,am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi ,yi ) 与曲线 y=f(x) 的距离i的平方和最小 ． 记 [ ( ) ] (2) ( , , ) [ ( ) ] 2 1 1 2 1 1 2 1 2 k i i n i m k k i n i n i m i i a r x y J a a a f x y = − = = −     = = = =   问题归结为，求 a1 ,a2 , …,am 使 J (a1 ,a2 , …,am) 最小．

线性最小二乘法的求解:预备知识 超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组 h1a1+hi2a2+…+Fnan= y (n>m)即R 1a1+n2+…+ nn m 711 2 五1 其中R=: 2 超定方程组一般不存在解的矛盾方程组 如果有向量a使得∑(1a+n2a2+…+mmy)2达到最小, 则称a为上述超定方程组的最小二乘解

线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 ( ) m m n n nm m n r a r a r a y n m r a r a r a y  + + + =      + + + = 即 Ra=y 11 12 1 1 1 1 2 , , m n n nm m n r r r a y R a y r r r a y             = = =                   其中 超定方程组一般不存在解的矛盾方程组． 如果有向量a使得 达到最小， 则称a为上述超定方程组的最小二乘解． 2 1 1 1 2 2 ( ) m i n i i i i m  r a + r a + + r a − y = 