高等教育出版社：《数学建模与数学实验》课程教学资源（第3版）椅子能在不平的地面上放稳吗

椅子能在不平的地面上放稳吗? 把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然 而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了下面用数学语言证明 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设: 1.椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连 线呈正方形 2.地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像 台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面 3.对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅 子在任何位置至少有三只脚同时着地 二、模型建立 中心问题是数学语言表 B 示四只脚同时着地的条件、 结论 首先用变量表示椅子的 位置,由于椅脚的连线呈正 方形,以中心为对称点,正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转 角度θ这一变量来表示椅子的位置 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅 脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了椅子要

椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然 而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明. 一、 模型假设 对椅子和地面都要作一些必要的假设： 1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连 线呈正方形. 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像 台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面. 3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅 子在任何位置至少有三只脚同时着地. 二、模型建立 中心问题是数学语言表 示四只脚同时着地的条件、 结论. 首先用变量表示椅子的 位置，由于椅脚的连线呈正 方形，以中心为对称点，正 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转 角度  这一变量来表示椅子的位置. 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅 脚与地面的竖直距离，当这个距离为 0 时，表示椅脚着地了.椅子要 B B A C A x C D D

挪动位置说明这个距离是位置变量的函数 由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、 C两脚与地面距离之和为f(),B、D两脚与地面距离之和为g(0), 显然f(a)、g(0)20,由假设2知人g都是连续函数,再由假设3知 f(0)、g()至少有一个为0当O=0时,不妨设g(0)=0,f()>0,这样 改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题 命题已知f()、g()是e的连续函数,对任意O,f(0)*g(0)=0, 且g(O)=0,f()>0,则存在,使g(0)=f()=0 模型求解 将椅子旋转90°,对角线AC和BD互换,由g(0)=0,f(0)>0可知 g(x/2)>0,f(2)=0令h()=g(0)-f(),则h)>0,h(x/2)<0,由人g 的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在((0<6<x/2)使 h(0)=0,g(0)=f(a0),由g(a)xf()=0,所以g(0)=f()=0. 四、评注 模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表 示椅子四脚与地面的距离利用正方形的中心对称性及旋转90并不 是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形

挪动位置说明这个距离是位置变量的函数. 由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、 C 两脚与地面距离之和为 f ( )，B、D 两脚与地面距离之和为 g( )， 显然 f ( )、g( )  0 ，由假设 2 知 f、g 都是连续函数，再由假设 3 知 f ( )、 g( ) 至少有一个为 0.当  = 0 时，不妨设 g( ) = 0, f ( )  0 ，这样 改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题： 命题 已知 f ( )、g( ) 是  的连续函数，对任意  ， f ( ) * g( ) =0， 且 g(0) = 0, f (0)  0 ，则存在  0 ，使 g( 0 ) = f ( 0 ) = 0. 三、模型求解 将椅子旋转 90 ，对角线 AC 和 BD 互换，由 g(0) = 0, f (0)  0 可知 g( 2)  0, f ( 2) = 0 .令 h( ) = g( )− f ( ) ，则 h(0)  0,h( 2)  0 ，由 f、g 的连续性知 h 也是连续函数，由零点定理，必存在 (0 2)  0  0   使 h( 0 ) = 0， ( ) ( )  0  0 g = f ，由 g f (  0 0 ) = ( ) 0 ，所以 g( 0 ) = f ( 0 ) = 0 . 四、评 注 模型巧妙在于用一元变量  表示椅子的位置，用  的两个函数表 示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 90 并不 是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形