北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第八章 λ矩阵（8.1）入一矩阵的概念

第八章A一矩阵 81一矩阵82一矩阵的标准形 83不变因子§4矩阵相似的条件 5初等因子 小结与习题

§2 λ－矩阵的标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §1 λ－矩阵 小结与习题 第八章  －矩阵 §6 若当(Jordan)标准 形的理论推导 §5 初等因子

81一矩阵

一、 λ－矩阵的概念 三、 可逆λ－矩阵  二、 λ－矩阵的秩

、入一矩阵的概念 定义 设P是一个数域,4是一个文字,P扎是多项式环 若矩阵A的元素是x的多项式,即P的元素,则 称A为元一矩阵,并把A写成A() 注 ①∵PcP[4,∴数域P上的矩阵一数字矩阵也 是一矩阵

定义： 若矩阵A的元素是  的多项式，即 P[ ]  的元素，则 设P是一个数域，  是一个文字， P[ ]  是多项式环， 称A为  ―矩阵，并把A写成 A( ).  一、λ－矩阵的概念 注： ① P P  [ ],  ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是  ―矩阵

②元-矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算, 其定义与运算规律与数字矩阵相同 ③对于n×n的一矩阵,同样有行列式|A(), 它是一个九的多项式,且有 A(x)B(x)|=A()‖!B(x) 这里A(),B()为同级一矩阵 ④与数字矩阵一样,λ一矩阵也有子式的概念 元一矩阵的各级子式是九的多项式

其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n  的  ―矩阵，同样有行列式 | ( ) |, A  它是一个  的多项式，且有 | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A B A B     = 这里 A B ( ), ( )   为同级  ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样，  ―矩阵也有子式的概念.  ―矩阵的各级子式是  的多项式. ②  ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算

、一矩阵的秩 定义 若λ一矩阵A(4)中有一个r(r≥1)级子式不为零, 而所有r+1级的子式(若有的话)皆为零,则称 A()的秩为r 零矩阵的秩规定为0

若  ―矩阵 A( )  中有一个 r r( 1)  级子式不为零， 而所有 r + 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称 A( )  的秩为r . 二、λ－矩阵的秩 定义： 零矩阵的秩规定为0

三、可逆入一矩阵 定义: 个n×n的一矩阵A(4)称为可逆的,如果有 一个n×n的一矩阵B(),使 A()B()=B()A(1)=E 这里E是n级单位矩阵 称B(4)为Ax)的逆矩阵(它是唯一的),记作

三、可逆λ－矩阵 一个 n n  的  ―矩阵 A( )  称为可逆的，如果有一 A B B A E ( ) ( ) ( ) ( )     = = 一个 n n  的  ―矩阵 B( )  ，使 定义： 这里E是n级单位矩阵. 称 B( )  为 A( )  的逆矩阵(它是唯一的)，记作 1 A ( ).  −

判定 (定理1)一个n×n的九一矩阵A(逆 令|4()是一个非零常数 证:“→”若A()可逆,则有B(),使 A(4)B()=E 两边取行列式,得 A()B()=A(川B()=E=1 4(1),B()都是零次多项式,即为非零常数

（定理1） 一个 n n  的  ―矩阵 A( )  可逆  A( )  是一个非零常数. 证: “  ” 若 A( )  可逆，则有 B( )  ，使 A B E ( ) ( )   = 两边取行列式，得 A B A B E ( ) ( ) ( ) ( ) 1     = = =  A B ( ) , ( )   都是零次多项式，即为非零常数. 判定：

“∈”设A(4)=d是一个非零常数 A"()为A(孔)的伴随矩阵,则 A(4)A(4)=A(a)4()=E A(1)可逆.A(4)=A'()

“  ” 设 A d ( )  = 是一个非零常数. A ( )  为 的伴随矩阵，则  A( )  1 1 A A A A E ( ) ( ) ( ) ( ) d d       = =  A( )  可逆. 1 1 A A ( ) ( ). d   −  =