北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.2）线性变换的运算

2线性变换的运算 线性变换的乘积 线性变换的和 线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式

1 一、 线性变换的乘积 二、 线性变换的和 三、 线性变换的数量乘法 四、 线性变换的逆 五、 线性变换的多项式

线性变换的乘积 1.定义 设σ,为线性空间V的两个线性变换,定义它们 的乘积o为:(ax)(a)=o((a),vae 则σv也是V的线性变换 事实上,(σ)(a+β)=o(τ(a+B)=o(r(a)+(B) =G(z(a))+G((6)=(o)(a)+(o)(6), (a7)(ka)=o((ka)=a(k(a)=ka(z(a)=k(o)(a)

2 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))             + = + = + 一、 线性变换的乘积 的乘积  为： (      )( ) =   ( ( )), V 则  也是V的线性变换. = + = +           ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( )              k k k k k ====

2.基本性质 (1)满足结合律:(a)6=0(o) (2)E=aE=σ,E为单位变换 (3)交换律一般不成立,即一般地, o≠To

3 ２．基本性质 （1）满足结合律： (    ) = ( ) （2） E E    = = ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，   

例1.线性空间R[x中,线性变换 D((x)=f(x) (f(x)=。f() (D)(()=((n)-(),.即p=E 而 (D)((x)=(f(x)=「nf()m=f(x)-f() ∴DJ≠JD

4 例1. 线性空间 R x[ ] 中，线性变换 D f x f x ( ( )) = ( ) ( )( ( )) ( ( ) ) ( ) 0 , x DJ f x D f t dt f x = =  ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 x JD f x J f x f t dt f x f = = = −    而，   DJ JD. ( ( )) ( ) 0 x J f x f t dt =  即 DJ E =

例2.设A、B∈P"为两个取定的矩阵,定义变换 O(X=AX, VX∈Pn T(X=XB, 则a,皆为P的线性变换,且对ⅤX∈P",有 (oT)(X=O(T(X)=O(XB=A(XB)=AXB (to(X=t(O(X=T(AX=(AXB=AXB. ∴Oz=To

5 ( ) , X AX = 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换 n n P   则  , 皆为 P n n 的线性变换，且对   X Pn n , 有 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,     X X XB A XB AXB = = = = ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .     X X AX AX B AXB = = = =  ( ) , X XB = n n X P     =  

线性变换的和 1.定义 设σ,为线性空间V的两个线性变换,定义它们 的和a+c为:(a+)(a)=(a)+(a),vaEV 则σ+也是Ⅴ的线性变换 事实上,(σ+t)(a+B)=o(a+B)+(a+B) =(a)+o(B)+t(a)+v(B)=(+τ)(a)+(a+7)(B) (o+ica=o(ka)+t(ka=ko(a)+ki(a) k((a+t(a=k(o+r(a)

6 则   + 也是V的线性变换. 二、 线性变换的和 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和   + 为： (        + = +   )( ) ( ) ( ), V 事实上， ( )( ) ( ) ( )           + + = + + + = + + + = + + +               ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )            + = + = + k k k k k = + = + k k ( ( ) ( )) ( )( ).       

2.基本性质 (1)满足交换律:σ+τ=+ (2)满足结合律:(a+)+6=a+(z+6) (3)0+G=+0=a,0为零变换 (4)乘法对加法满足左、右分配律: ot+8=ot+o8 r+8o=to+do

7 （3） 0 0 , + = + =    0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：      ( + = + ) (     + = + ) 2．基本性质 （1）满足交换律：     + = + （2）满足结合律： (      + + = + + ) ( )

3.负变换 设σ为线性空间Ⅴ的线性变换,定义变换-σ为: a)=-0(o a∈ 则-σ也为V的线性变换,称之为σ的负变换. 注:(-σ)+σ=0

8 (− = −        )( ) ( ), V 3．负变换 设  为线性空间V的线性变换，定义变换 − 为： 则 − 也为V的线性变换，称之为  的负变换. 注： ( ) 0 − + =  

三、线性变换的数量乘法 1.定义 设σ为线性空间V的线性变换,k∈P,定义k与σ 的数量乘积ko为: kola=kola Va∈卩 则kσ也是Ⅴ的线性变换 9

9 (k k V      )( ) =   ( ), 三、 线性变换的数量乘法 1．定义 的数量乘积 k 为： 则 k 也是V的线性变换. 设  为线性空间V的线性变换， k P  , 定义k与 

2.基本性质 (1)(k)a=k(lo) (2)(k+Do=ko +lo (3)k(σ+)=ko+kz (4)1a=a 注:线性空间Ⅴ上的全体线性变换所成集合对于 线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间,记作L(V) 10

10 (1) ( ) ( ) kl k l   = (2) ( ) k l k l + = +    (3) ( ) k k k     + = + (4) 1 = 2．基本性质 注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于 线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L V( )