东南大学：《随机过程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第5章 小结

《随机过程》 第5章小结 陈明制作 chenming@seu.edu.cn

《随机过程》 第5章小结 陈明 制作 chenming@seu.edu.cn

内容提要 随机信号的正交分解 ·常见随机信号的性质 ·随机信号的检测 ·随机信号的均方滤波

内容提要 • 随机信号的正交分解 • 常见随机信号的性质 • 随机信号的检测 • 随机信号的均方滤波

随机信号的正交分解 正交分解和随机信号的表示 随机信号的 Fourier正交分解 随机信号的K-L正交分解

随机信号的正交分解 • 正交分解和随机信号的表示 • 随机信号的Fourier正交分解 • 随机信号的K-L正交分解

正交分解和随机信号的表示 正交函数系 标准正交函数系 完备正交函数系 m三n a'm(t)v/n(t)dt=Cn&] 72 ≠

正交分解和随机信号的表示 • 正交函数系 • 标准正交函数系 • 完备正交函数系

正交分解 X(t) ms ∑ XN(t)=∑Wnn(t) m=-N b X(t)y"(t)dt lim EX(t)-XN(=0 N→

正交分解

随机信号的 Fourier正交分解 定理51若宽平稳随机过程X(t)的自相关函数Rx(r)是一 个周期为T的函数,则在任意一个长度为b-a=T的区间上a,b 有如下 Fourier正交分解 X(t) inwt (5.15) 其中随机变量Cn由下式决定 X(te nu dt (5.16) EiCmCn=Smdm n X(7)e dT

随机信号的Fourier正交分解

随机信号的KL正交分解 引理设K(t,s)为(t,s)∈[a,b×a,b上的连续函数,且满 足对称性 K(t, s)=K(s, t) (5.32) 和非负定性,即对任意函数f(t)有 K(t, s)f(t)f*(s)dtds >0 (5.3) 则K(t,s)可展成如下绝对一致收敛的序列 k(8)=∑Av(v(s),(t,)∈,创xa,b(5 其中{vk(t)}e1为标准正交函数系,也即

随机信号的K-L正交分解

wk(t)wlf(t)dt=dk-l (535 该标准正交函数系{vk(t)}1及实数序列{入k}=1为下列齐次积 分方程的特征函数及特征值 K(t,s)y(s)ds=λy(t),a≤t≤b (536) 此外,当K(t,s)正定时,{vk(t)}e1构成D2[a,b的一个标准完备 正交基

定理53( Karhunen-Loeve展开定理)设X(t)为定义于la,b 上均方连续的随机过程,其自相关函数为Rx(t,s),显然由自相关 函数的性质知,Bx(t,8)满足对称性和非负定性,设标准正交函数 系{vk(t)}=1及实数序列{入k}e≌1为由下列齐次积分方程确定的

特征函数及特征值 Rx(t, s)v(s)ds= Av(t), a<tsb (5.37) 则X()有如下展开 X()∑Vv(t),a≤t≤b 5.38 其中 Vk=/X(t)*(t)dt 5.39 且有 EIVmV)=An8m-n (5.40) 式(538)称为随机过程X()的 Karhunen- Loeve正交分解,简 称K-L正交分解