东南大学：《随机过程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第3讲 随机变量、随机向量及其概率函数

《随机过程》教程 第3讲随机变量、随机向量及 其概率函数 东南大学移动通信国家重点实验室 陈明制作 chenming(oseu eau cn ftp. seu. edu. cn/ incoming/ document/随机过程

《随机过程》教程 第3讲 随机变量、随机向量及 其概率函数 东南大学移动通信国家重点实验室 陈 明 制作 chenming@seu.edu.cn ftp.seu.edu.cn/incoming/document/随机过程

随机对象 映射方法:将具体的样本空间映射到数集或者 函数集(传统的方法;概率论中常用) ◆直接方法:直接指定样本空间为数集或函数集 当样本空间为一维实数集合时,则称该一维实变量 为随机变量 ■当样本空间为一维复数集合时,则称该一维复数变 量为复随机变量 ■当样本空间为高维实数空间时,则称该高维实数 间为随机向量 ■当样本空间为定义于某个数集上的函数组成,则称 该函数集合为随机过程 2021/222 东南大学无线电工程系

2021/2/22 东南大学无线电工程系 2 随机对象 映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者 函数集（传统的方法；概率论中常用） 直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集 ◼ 当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量 为随机变量 ◼ 当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变 量为复随机变量 ◼ 当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数空 间为随机向量 ◼ 当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称 该函数集合为随机过程

随机变量 手机话费 月使用时间 元 (分钟) y=0.4+50 ◆随机变量的两要素 ■变量特征 概率特征(统计特征) 2021/222 东南大学无线电工程系 3

2021/2/22 东南大学无线电工程系 3 随机变量 随机变量的两要素 ◼ 变量特征 ◼ 概率特征（统计特征） 手机话费 （元） 月使用时间 （分钟）

样本空间的统一问题 ◆当随机变量(随机向量)的样本空间只是实数 集合的一部分时,仍用整个实数集合作为样本 空间。这样将样本空间统一之后,可以用概率 密度函数,概率分布函数统一描述随机变量的 概率特性;被扩充的样本点处的概率密度被定 义为零; ◆对于离散型随机变量(随机向量) ,有时候为 了表述的方便,也用离散变量表示,而不进行 扩充,此时概率特性用概率质量函数表示 2021/222 东南大学无线电工程系

2021/2/22 东南大学无线电工程系 4 样本空间的统一问题 当随机变量（随机向量）的样本空间只是实数 集合的一部分时，仍用整个实数集合作为样本 空间。这样将样本空间统一之后，可以用概率 密度函数，概率分布函数统一描述随机变量的 概率特性；被扩充的样本点处的概率密度被定 义为零； 对于离散型随机变量（随机向量），有时候为 了表述的方便，也用离散变量表示，而不进行 扩充，此时概率特性用概率质量函数表示

概率质量函数 (pmf: probability mass function) P(x1)P(m2) P(xn)… P 2=1 ◆任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 ◆其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 ◆连续型随机变量不可以用概率质量函数表示 2021/222 东南大学无线电工程系 5

2021/2/22 东南大学无线电工程系 5 概率质量函数 (pmf: probability mass function) 任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示 其他事件的概率通过概率质量函数计算得到 连续型随机变量不可以用概率质量函数表示

概率分布函数 (cdf: cumulative distribution function) xa=P(X<a) C 随机变量ⅹ落在区间(-∞,]的概率,等价于:事 件(-∞,x发生的概率,其中x是一个变量,X是 个随机变量。 2021/222 东南大学无线电工程系 6

2021/2/22 东南大学无线电工程系 6 概率分布函数 (cdf: cumulative distribution function)

概率密度函数 (pdf: probability density function fx(a)=dFx( ◆概率分布函数的导数 ◆概率在直线上的密度 2021/222 东南大学无线电工程系

2021/2/22 东南大学无线电工程系 7 概率密度函数 (pdf: probability density function) 概率分布函数的导数 概率在直线上的密度

补充:广义导数的概 定义:若f(x)和F(x)对任意无穷阶可导且具有紧支 集的函数y(x)满足 / f(ee(adac F(o(cdc 则称f(x)是F(x)的广义导数 注:上式中p(x)可以替换为一阶可导且满足等式 lim (x=lim o (a=o 的函数 2021/222 东南大学无线电工程系

2021/2/22 东南大学无线电工程系 8 补充：广义导数的概念

函数的支集 supp(p(x)=包含集合{x∈Ry(x)≠0}的最小闭区间 ◆直观上的意义就是函数在这个集合上不 为零,这个集合“支撑”了这个函数的非 零值,所以被称为“支撑集合”,简称支 集( support set 2021/222 东南大学无线电工程系

2021/2/22 东南大学无线电工程系 9 函数的支集 直观上的意义就是函数在这个集合上不 为零，这个集合“支撑”了这个函数的非 零值，所以被称为“支撑集合”，简称支 集（support set）

广义导数定义的来源 F(i(adc= F(a(a) d C F(o(d Fcx o℃ dxp()dx ◆将导数和原函数之间所满足的积分恒等 式用来定义广义导数 2021/222 东南大学无线电工程系 10

2021/2/22 东南大学无线电工程系 10 广义导数定义的来源 将导数和原函数之间所满足的积分恒等 式用来定义广义导数