华南理工大学：《数字信号处理》（双语版） 第四章 LTI离散时间系统在变换域中的分析

数字信号与处理 Digital Signal Processing 第四章 LTI离散时间系统 在变换域中的分析 Analysis of LTI Discreet Time System in Transformation 电子与信息学院 School of Electronic and Information SCUT 数字信号处理精品课程

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 主要内容: 频率响应 ●传输函数 ●简单滤波器 些特殊的传输函数 (全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补 滤波器) 逆系统 ●系统辩识 ●双输入双输出系统 数字信号处理精品课程

主要内容： ⚫ 频率响应 ⚫ 传输函数 ⚫ 简单滤波器 ⚫ 一些特殊的传输函数 （全通滤波器、最大、最小相位滤波器、互补 滤波器） ⚫ 逆系统 ⚫ 系统辩识 ⚫ 双输入双输出系统

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 41有限维离散时间系统 对差分方程 ∑4-k∑mx-l 对上式作DTFT M e pse jon alejo k=0 Z变换为 数字信号处理精品课程

4.1 有限维离散时间系统     ( ) ( ) d z Y(z) p z X (z) Z d e Y e p e X e DTFT d y n k p x n k M k k k N k k k j M k j k k j N k j k k M k k N k k         =                 =         − = −       = − = − = − = − = = 0 0 0 0 0 0 变换为 对上式作 对差分方程    

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 42频率响应( frequency response 421定义 ym]=∑]xn-k 当x[m]=e时 yr]=∑kem8)=(∑hkl)emn=H(em)e Jon k=-∞ k=-∞ 其中x[]=em-一特征函数( eigen function) H(e)=∑k-一一频率响应( equency response) 幅度响应( magnitude response) (a)=arg{(eo)一相位响应( phase response) g(a)=20bg/(e/)—增益函数( gain function) a(o)=-g(o)一衰减函数( attenuation function) 或损失函数( loss function) 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.1 定义 4.2 频率响应（frequency response）       ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 或损失函数（ ） — —衰减函数（ ） — —增益函数（ ） — —相位响应（ ） — —幅度响应（ ） — —频率响应（ ） 其中 — —特征函数（ ） 当 时 loss function a g attenuation function g H e gain function H e phase response H e magnitude response H e h k e frequency response x n e eigen function y n h k e h k e e H e e x n e y n h k x n k j j j k j j k j n j n j j n k j k k j n k j n k                  = − = = = = = = = = = −      =− −  =− −  =− −  =− 1 0 ( ) 20log arg [ ] [ ] ( [ ] ) ( ) [ ] [ ] [ ]

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 422用 MATLAB计算频率响应 hI=ones(1, 5)/5 h2=ones(1,14)/14 0: pi/255: pi HI= hl, 1, w) H2-freqz h2, 1, w) mI=abs(hi) m2=abs(H2) plot(w/pi, ml, r-w/pi, m2, b--); Xlabel( omega/pi) ylabel(幅度), legend(r-M=5,b-M=14) pause ph1=angle(H1)*180/pi 量 ph2=angle(H2)*180/pi plot(w/pi, phl, r-w/pi,ph2, " b--) Xlabel(" omega/pi) ylabel(相位(度)) legend(r-M=5,b-M=14) 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.2 用MATLAB计算频率响应 h1=ones(1,5)/5; h2=ones(1,14)/14; w=0:pi/255:pi; H1=freqz(h1,1,w); H2=freqz(h2,1,w); m1=abs(H1); m2=abs(H2); plot(w/pi,m1,'r-',w/pi,m2,'b--'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度'); legend('r-','M=5','b--','M=14'); pause; ph1=angle(H1)*180/pi; ph2=angle(H2)*180/pi; plot(w/pi,ph1,'r-',w/pi,ph2,'b--'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('相位（度）'); legend('r-','M=5','b--','M=14');

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 42.3稳态响应( steady-state response L∏I离散时间系统的频率响应决定了其对正弦输入的稳态响应 例 x团n]=Acos(0+φ)=g[n+g*n] 式中,g[m]=(1/2)Aeel0 设v{m]为输入g团m]的响应,则: vn]=(1/2)AeJo H(eJo o)e Joon 类似地有:p*m]=(12)Ae冲H(e0)e0n 则输出yn]对x[m]的响应是 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.3 稳态响应（steady-state response） LTI离散时间系统的频率响应决定了其对正弦输入的稳态响应 例： x[n] =A cos (ω0n + ) = g[n] + g*[n] 式中， g[n] =(1/2) A e j e jω 0 n 设v[n] 为输入 g[n] 的响应，则: v[n] = (1/2) A e j H(e jω 0 ) e jω 0 n 类似地有: v*[n] = (1/2) A e － j H(e － jω 0 ) e － jω 0 n 则输出y[n] 对x[n]的响应是:

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 n+v 1 Ae jdH(ejoon )e@on+1 Ae JdH(e joon)e joon 1A H(ejoo )lfe j0(0ejdeJoon+e j0(@oe pe joon A H(eoo)l cos(oon+0(00)+o A H(eoo cos(oo(n+ 6(0o)+ O [m]与x[达同频正弦信号,除了 (1)幅度×H(e!0) (2)相位延迟(o0) 数字信号处理精品课程

    2 ( ). 1 | ( ) | | ( ) | cos( ( ) ) | ( ) | cos( ( ) ) | ( ) |{ } ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                              （ ）相位延迟 （）幅度 与 为同频正弦信号，除了 j j j j j j j n j j j n j j n j n j j n j n H e y n x n A H e n A H e n A H e e e e e e e Ae H e e Ae H e e y n v n v n  = + + = + + = + = + = + − − − − − − 

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 424对因果指数序列的响应 设输入x[以]=emn则 ∑小k-pmb (")m-(∑p-ke 稳态响应(sead- state response):yn[]=H(e Jo jon 暂态响应(mron):y=(∑pe 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.4 对因果指数序列的响应         ( )           ( )     ( )     j n k n j k t r j j n s r j n k n j j n j k j n k n j n j k k j k j n n k j k n k j n k j n transient response y n h k e e steady state response y n H e e H e e h k e e h k e e h k e e h k e e u n y n h k e u n x n e u n                       = − =       = −        −      =       =       = =        = + −  = + −  = + −  = − = − = − 1 1 0 1 0 0 : 暂态响应（ ）： 稳态响应（ ） 设输入 ，则

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 r[n的性质 (1)有界 M∑叫∑∑ k=n+1 k=n+1 k=0 2)于当n→时,∑1→,因此当→时1→0 k=n+1 当h]为有限长,即]=0 tr =0,n>N 数字信号处理精品课程

      ( )             0   0 1 2 0 0 1 1 1 1 0 =  =  − →  → →  → =        = +  =  = +  = + − − h n h n n N y n n N n h k n y n y n h k e h k h k y n t r t r k n k n k n k j k n t r t r 当 为有限长，即 ， 时， ， （ ）由于当 时， ，因此当 时， ； （）有界 的性质： 

第四章|LT离散时间系统在变换域中的分析 425滤波 O≤O J C 0c<o|≤ 输入]=4 CosIn+ Bcos o2n,0<01<02<02<d时 4(1+)+b)k coston+002 ALejo cos(an+(a1) 数字信号处理精品课程

⚫ 4.2.5 滤波 ( )     ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 cos cos cos cos cos 0 0 1 1 1 2                          + = + + + = +             A H e n y n A H e n B H e n x n A n B n H e j j j c c c j 当输入 ， 时 例：