华南理工大学：《数字信号处理》（双语版） 第三章 变换域中的离散时间信号

数字信号与处理 Digital Signal Processing 第三章 变换域中的离散时间信号 Discreet Time Signal of Transformation x大字 电子与信息学院 School of electronic and Information SCUT 数字信号处理精品课程

第三章|变换域中的离散时间信号 主要内容: 傅立叶变换 离散时间傅立叶变换( Discrete- Time Fourier transform,DTFT (定义、收敛条件、性质) 离散傅立叶变换( Discrete fourier transform,DFT) (定义、性质) ●Z变换(定义、收敛条件、逆变换、性质) 数字信号处理精品课程

主要内容： ⚫ 傅立叶变换 －离散时间傅立叶变换（Discrete-Time Fourier Transform，DTFT) （定义、收敛条件、性质） – 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT) （定义、性质） ⚫ Z变换（定义、收敛条件、逆变换、性质）

第三章|变换域中的离散时间信号 31离散时间傅立叶变换 31.1定义 x(e")=∑ x[n]e on X(e)为复数,可以表示为 X(elo)=Xre(elo)+Xm(el)=X(elo yJe() 其中(o)=arg(X(e") X(e):傅立叶频谱( Fourier spectrun) X(em):幅度函数( magnitude function或幅度谱( magnitude spectrum) ():相位函数( phase function)或相位谱( phase spectrum) 数字信号处理精品课程

3.1 离散时间傅立叶变换 ⚫ 3.1.1 定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arg ( ) ( ) ( ) j j n n j j j j j j re im j j j X e x n e X e X e X e X e X e e X e X e Fourier spectrum X e magnitude function magnitude spectrum ph                  − =− = = + = =  为复数，可以表示为: 其中 ：傅立叶频谱（ ） ：幅度函数（ ）或幅度谱（ ） ：相位函数（ ase function phase spectrum ）或相位谱（ ）

第三章|变换域中的离散时间信号 例:105m的DFT △(2)=∑ n e Jon- n2=-00 2. xn=aun, aaun]e ion =>ae jom =2(ae e) ae 数字信号处理精品课程

( ) ( ) ( ) 0 0 1. 1 2. 1 1 1 j j n n n n j n j n n j n j j n n n n DTFT e n e x n u n X e u n e e e e                 − =−    − − − − =− = =                      = = =  = = = = −     例： 的

第三章|变换域中的离散时间信号 傅立叶频谱的性质: cOSa Im sinpo x(elof-xreleio +xmlelo tane(o)=xin 对实序列,有 x/0),x(e/为偶函数 O(o)Xm(为o奇函数 数字信号处理精品课程

傅立叶频谱的性质： 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                j r e j j i m i m j r e j j j i m j j r e X e X e X e X e X e X e X e X e X e = + = = = tan cos sin 2 2 2 ( ) ( ) ( )， ( )为 的奇函数 ， 为 的偶函数 对实序列，有        j i m j r e j X e X e X e 2

第三章|变换域中的离散时间信号 3、X(e)为o的连续函数,且为周期函数,周期为2x 证明 x(e11+2)=∑x小e2 ∑x[nlel"e Jonn 数字信号处理精品课程

3 2 ( ) j X e  、 为  的连续函数，且为周期函数，周期为 ( ) ( ) 1 j k 2 X e   + 证明：   j k n ( 1 2 ) n x n e    − + =− =    j n1 j kn 2 n x n e e    − − =− =    1 j n n x n e   − =− =  ( ) 1 j X e  =

第三章|变换域中的离散时间信号 傅立叶反变换( Inverse discrete- Time fourier transform,DTFT) e do 2丌 证明: ∑x d 2丌 2 o(m-/) 2种2z(1(n-)1(n= ∑x sin (n z(n-) ∑x]{[n-小=x{n 其中, Sin丌(n =On一 丌(n 0 n≠ 数字信号处理精品课程

  ( ) 1 2 j j n x n X e e d       − =  x n  证明：     ( )   ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( )       ( ) ( )   1 2 1 2 1 2 sin sin 1 0 j l j n n j n l n j n l j n l n n n x l e e d x l e d e e x l j n l j n l n l x l x l n l x n n l n l n l n l n l n l                          − − =−  − − =−  − − =− = =−   =− =−   =       =       =  −   − −   − = = − = − −  = = = −  −          其中， 傅立叶反变换（Inverse Discrete-Time FourierTransform,IDTFT）：

第三章|变换域中的离散时间信号 ●3.12收敛条件( convergence) 如果x[m]的DTFT在种意义上收敛,则称xm的傅立叶变换存在 1、一致收敛(硎 niform convergence) 令xp)∑m,一致收敛的定义为 Im K 0 K→> 如果∑<,则Xx0)致收敛,即的D存在 )-∑小-s∑ xn<oo 数字信号处理精品课程

⚫ 3.1.2 收敛条件（convergence) 如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在 ( )   ( ) ( )   ( )   ( ) =          − = =      =−  =− −  =− → =− − n n j j n j K n j K j K K n K j j n K X e x n e x n x n X e x n DTFT X e X e X e x n e uniform convergence        如果 ，则 一致收敛，即 的 存在 令 ，一致收敛的定义为 、一致收敛（ ） lim 0 1

第三章|变换域中的离散时间信号 2、均方收敛(meam- square convergence) (绝对可加序列具有有限能量,但有限能量序列不一定绝对可加) Im Jo K→ 例:理想低通滤波器 0≤l≤o LP yoch Jocn sinon hr LP d 0<丌<00 h团能量为c,但不绝对可加 ∑h O 2 2 数字信号处理精品课程

( ) ( ) ( )     （   ( ) ） 能量为 ，但不绝对可加 例：理想低通滤波器 （绝对可加序列具有有限能量，但有限能量序列不一定绝对可加） 、均方收敛（ ）      − −  =− − − → − = = = = −             = = −         = − = −                                    j c LP n LP c LP c j n j n j n LP c c j LP j K j K c c c c c c h n H e d d h n n n jn e jn e h n e d H e X e X e d mean square convergence 2 1 2 1 sin 2 1 2 1 0 1 0 lim 0 2 2 2 2

第三章|变换域中的离散时间信号 3、非绝对可加或均方可加信号的DTFT 阶跃序列: 1n≥0 0nI(o+2ck k=-∞0 DTFT)(o-0o +2k) DTFT Jo 数字信号处理精品课程

    ( )   n x n A x n A n n n u n DTFT    = = +      = 指数序列： 正弦序列： 阶跃序列： 、非绝对可加或均方可加信号的 0 cos 0 0 1 0 3   ( )   ( ) ( )   ( )                  j n DTFT k j n DTFT k j DTFT k DTFT DTFT e u n e k k e u n k n DTFT −  =−  =− −  =− −  ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ − + + + − ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ + ⎯ ⎯→    1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 0 ， 常用 对