北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）第1章 离散信号与系统分析 1.5 离散信号的复频域分析

离散信号的复频域分析u为什么引入双边z变换u双边z变换及其收敛域u双边z变换的主要性质u双边z反变换的计算

离散信号的复频域分析 u 为什么引入双边z变换 u 双边z变换及其收敛域 u 双边z变换的主要性质 u 双边z反变换的计算

为什么引入双边变换?X(z)=a x[k]z-k单边2变换k-0存在局限：※只能描述因果系统※只能分析单边序列0.3h[k]0.2x [k]0.1110.1-15-10S101520-20-50

为什么引入双边z变换 存在局限：※只能描述因果系统 ※只能分析单边序列 单边z变换 h[k]

双边变换及其收敛域为更加有效地描述离散LTI系统，引入序列-变换￥x[k] zkz正变换：X(z) =k=-￥2反变换：C为X(z)的收敛域中的一闭合曲线

双边z变换及其收敛域 z正变换： z反变换： C为X(z) 的收敛域中的一闭合曲线 为更加有效地描述离散LTI系统，引入序列z变换

双边z变换及其收敛域￥oaX (z)xkk=-￥Im ()能够使上式收敛的值区域称为变换的收敛域ROC简称为ROC(RegionOfConvergence)。>Rc(2)收敛域 (ROC): R<z<R

收敛域 (ROC): R-< |z| <R+ 能够使上式收敛的z值区域称为z变换的收敛域， 简称为ROC(Region Of Convergence)。 双边z变换及其收敛域

双边变换及其收敛域(1)有限长序列N2ax[k] z-kX(z) =k=Ni例：试求矩形脉冲序列Rkl的双边z变换及其收敛域+￥N-11- z'N=a 1xz*k解: X(z)= a R[k] z'1- 2.1, / >0k=-￥k=0有限长序列的z变换的收敛域ROC一般为0<z<+80

（1）有限长序列 例：试求矩形脉冲序列RN [k]的双边z变换及其收敛域 解： 有限长序列的z变换的收敛域ROC一般为0 0 双边z变换及其收敛域

双边z变换及其收敛域(2）右边序列Xa x[k] z-kX(z) = k=N,例：试求指数序列α"u[k]的双边z变换及其收敛域A Im(z)￥1ROCk_-k[z>a解: X(z)=aaz1- az-1k=0RRe(z)收敛域是以R.=lαl为半径的圆外区域

（2）右边序列 例：试求指数序列 的双边z变换及其收敛域 解： 收敛域是以Rx-= |a|为半径的圆外区域 双边z变换及其收敛域

双边变换及其收敛域（2）右边序列Xa x[k] z-kX(z) = k=N,当N,≥0时，右边序列z变换的收敛域是国>R当N,<0时，X(z)可表示为?toax[k] z*k+L + x[- 1X(z) = x[N,(zZk=0≠o0，故右边序列z变换的收敛域是R,<<00

（2）右边序列 当N1 Rx- 双边z变换及其收敛域 |z| ≠∞，故右边序列z变换的收敛域是 Rx-< |z| < ∞

双边z变换及其收敛域(3）左边序列N,x[k] z-kaX(z) =k=-￥例：试求-bku[-k-1l的双边z变换及其收敛域A Im(2)￥- 1=a -bkzk解: X(z)=a-k6元ROC7k=1Rk=-Re(z)b-'z1<blZ1- bz11- b-'z收敛域是以R=bl为半径的圆内区域

（3）左边序列 例：试求 -b k u[-k-1]的双边z变换及其收敛域 解： 收敛域是以Rx+=| b|为半径的圆内区域 双边z变换及其收敛域

双边z变换及其收敛域（3）左边序列Nx[k] zkaX(z) = k=-当N,≤0时，左边序列z变换的收敛域为 0时，X(z)可表示为VX(z) = a x[k] z*k + x[0]+ x[1+L +x[N,Zk=-￥≠0，故左边序列z变换的收敛域为寸 0<<Rx

（3）左边序列 当N2 > 0时，X(z)可表示为 当N2 ≤ 0时，左边序列z变换的 收敛域为 |z| < Rx+ 双边z变换及其收敛域 |z| ≠0 ，故左边序列z变换的收敛域为 0 < |z| < Rx+

双边变换及其收敛域(4)双边序列￥x[k] z-kX(z) =k=-￥A Im (2)例：试求 αku[k]-bku[-k-1]的双边z变换ROC11解：X(z)=+1- bz- 11- az-1+Re(z)双边z变换收敛域是圆环区域(lal<[b)[a <[2]<[b]

（4）双边序列 例：试求 a k u[k] -b k u[-k-1]的双边z变换 解： 双边z变换收敛域是圆环区域 双边z变换及其收敛域