北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）第1章 离散信号与系统分析 1.6 离散系统的复频域分析

离散系统的复频域分析离散LTI系统的系统函数u系统函数与单位脉冲响应11系统函数与系统的稳定性uu系统函数与系统频率响应

离散系统的复频域分析 u 离散 LTI 系统的系统函数 u 系统函数与单位脉冲响应 u 系统函数与系统的稳定性 u 系统函数与系统频率响应

离散LTI系统的系统函数①系统函数的定义若描述离散LTI系统的差分方程为NMaaanj[k- n]=a b,x[k- n]n=0n=o利用变换位移特性，可得描述该系统的复频域方程NM(aa,z"")Y(z)=(a b,z"")X(z)n=on=0

离散LTI系统的系统函数 若描述离散LTI系统的差分方程为 利用z变换位移特性，可得描述该系统的复频域方程 Ø系统函数的定义

离散LTI系统的系统函数①系统函数的定义NM(a)Y(z) =(ah)X(z)a.zn=0n=0MoaFbY(z)n=0H(z)NX(z)ana.Zn=0

离散LTI系统的系统函数 Ø系统函数的定义

离散LTI系统的系统函数①系统函数的表示形式(1)z-1的有理多项式表示1ZMbo +b,z1+L +bvH(z) = o+a,z'I+L +azN(2)z的有理多项式表示LH(z) = z(N-M) +L+an

离散LTI系统的系统函数 Ø系统函数的表示形式 (1) z -1的有理多项式表示 (2) z的有理多项式表示

离散LTI系统的系统函数①系统函数的表示形式(3）零点、极点和增益常数表示H(2) = K2(N-M) (2- 2)(2- 2)L (2- zm)(z- p)(z- p2)L (z- p)(4）二阶因子表示z1+ba,z+H(z)= (ao, +a,z-1 +a2ii=1

离散LTI系统的系统函数 Ø系统函数的表示形式 (3) 零点、极点和增益常数表示 (4) 二阶因子表示

系统函数与单位脉冲响应离散d[k]h[k]LTI系统Y(z)z (h[k]) =Z (h[k])H(z)X(z)Z (d[k])h[k]- 34? H(z)离散LTI系统的时域描述离散LTI系统的=域描述

系统函数与单位脉冲响应 离散LTI系统的时域描述 离散LTI系统的z域描述

系统函数与单位脉冲响应b +bz-'+L +bM-1z (M-1) +bz-M=Z (h[k])H(z) =o +a,z'' +L +an.iz (N-1) +当N=0,α.0设α=1)时，MoaN~(M-IbH(2) =b。 +b,z +L +bM-121nn=0h[k]=b,d[k]+b,d[k - 1]+L +byd[k - M]长度有限该离散系统被称为FIR(FiniteImpulseResponse)系统

系统函数与单位脉冲响应 当N=0, a0￾0(设a0=1) 时， 该离散系统被称为FIR (Finite Impulse Response)系统 长度有限

系统函数与单位脉冲响应b +b,z++L +bM-1z-(M-1) +bz-M=Z (h[k])H(z) =-No +a,z' +L +an-,z (N-1) ++aN>0，(a,且ak;k=1,2,N)中至少有一项非零时，11H(2) = K (2- 2)(2- 2,)L (2 - 24Z."a(z- p)(z- p2)L (z- p)i-I z- P,Nh[k]=Z -(H(z)} =a A,(p,)*u[k]长度无限该离散系统被称为IR(InfiniteImpulseResponse)系统

系统函数与单位脉冲响应 N>0，{a0￾0, 且ak ;k=1,2,. ,N}中至少有一项非零时， 该离散系统被称为IIR (Infinite Impulse Response)系统 长度无限

系统函数与系统的稳定性时域：离散LTI系统稳定的充要条件是￥[h[k]<?k=-￥由系统函数H(z)判断离散LTI系统的稳定性：※若系统函数H()的收敛域包含-平面单位圆，则系统稳定。特例：对于因果系统，若H(z)的极点都在单位圆内，则系统稳定

系统函数与系统的稳定性 时域：离散LTI系统稳定的充要条件是 ※若系统函数H(z)的收敛域包含z平面单位圆，则系统稳定。 特例：对于因果系统，若H(z)的极点都在单位圆内，则系统稳定。 由系统函数H(z)判断离散LTI系统的稳定性：

1的稳定性。例：试判断因果离散LTI系统H(z)(1-0.5z-)(1-1.5z-1)解：（1)由于系统为LTI系统，从收敛域角度分析因为该离散LTI系统是因果系统，其收敛域应为z>1.5该收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。2）由于系统为因果LTI系统，因此，从极点分布分析该离散LTI系统的极点为z,=0.5，z,=1.5极点z,=1.5在单位圆外，故系统不稳定

例：试判断因果离散LTI系统 的稳定性。 解： 因为该离散LTI系统是因果系统，其收敛域应为|z|>1.5 该收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。 (1)由于系统为LTI系统，从收敛域角度分析 该离散LTI系统的极点为z1=0.5, z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。 (2) 由于系统为因果LTI系统，因此，从极点分布分析