吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数、极限、连续 §5 极限运算法则

第一章 §5极浪运算法则 无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 机动目录上页下页返回结束

第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5 极限运算法则

本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四则 运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求 某些函数的极限.以后我们将逐步介绍求极限的的其他方法 在下面的讨论中，记号“1im下面没有标明自变量的3 化过程，实际上，下面的定理对x→x及x→o都是成立的 在论证时，我们只证明了x→x的情形，只要把改成X,把 0sx-x≤改成x>X,就可得x→o情形的证明

本节将讨论极限的求法，主要是建立极限运算的四则 运算法则和复合函数的运算法则，利用这些法则，可以求 某些函数的极限.以后我们将逐步介绍求极限的的其他方法. 在下面的讨论中，记号“lim”下面没有标明自变量的变 化过程，实际上，下面的定理对x→x0及x →∞都是成立的. 在论证时,我们只证明了x→x0的情形,只要把δ改成X，把 0＜|x-x0 |＜ δ改成|x|＞X，就可得x →∞情形的证明

一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设lima=0,1im/阝=0， x→0 V6>0,δ1>0，当0kx-x0K6时，有aK号 3δ2>0，当0Xo 这说明当x→x。时，a+阝为无穷小量 机动目录上页下页返回结束

 = min 1 ,  2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设   0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0  x − x0    +    +  2 2    + =  因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， =1 n-→∞ +…++nx 解签见课件第三讲例4 机动目录上页下页返回结束

说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，       + + + + + → n + n  n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim  =1 解答见课件第三讲 例4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小

定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小· 证：设VxEU(o,6),usM 又设/1imax=0,即Ve>0,3d>0,当x∈U(xo,d2) x-→X0 时，有a≤ 取8=min{δ1,2}，则当x∈U(x0,8)时，就有 ua=uc≤M·8=e 故1imuc=0,即ua是x→xo时的无穷小 x今x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 机动目录」 上页下页返回结束

定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u  M 又设 lim 0, 0 = →  x x 即   0, 当 时, 有 M    取 min , ,  =  1  2 则当 ( , ) x x0    时 , 就有 u = u      = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求1im sin x X→00 X sinx 解：sinx≤1 X 1im2=0 x→0X sin x 利用定理2可知 lim =0 X→00 X sin x 说明：y=0是y= 的渐近线 X 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、极限的四则运算法则 定理3.若1im不(x)=A,limg(x)=B,则有 im[f(x)±gx)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,8(x)=B+B (其中x,B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+C)±(B+B) =(A土B)+(C±B) 由定理1可知士阝也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 机动目录」 页下页返回结束

二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B +  (其中  ,  为无穷小) 于是 f (x)  g(x) = (A+ )  (B +  ) = (A B) + (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论：若1imf(x)=A,1img(x)=B,且f(x)≥g(x), 则A≥B.P45定理5) 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 机动目录上页下页返回结束

推论: 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x)  g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理4.若1imf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f()g(x)]=limf(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明：定理4可推六到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)小=Climf(x) (C为常数) 推论2.1im[f(x)]”=[limf(x)] (n为正整数) 例2.设n次多项式P()=a0+a1x++anx”,试证 lim P (x)=P(o). x→X0 证：lim P((x)=ao+a1limx+…+an lim x” x-→X0 x今X0 x→x0 =Pn(xo】 8 机动目录 页下页返回结束

定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理5.苕imf(x)=A,limg(x)=B,且B0,则有 im（)） lim f(x) g(x) limg(x) B 证：因1imf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+C,g(x)=B+B,其中a,B为无穷小 设 Y= f(x)AA+a A (Ba-AB) g(x)BB+BB B(B+B) 无穷小 有界 f(x) A 因此Y为无穷小 +Y 8(x) B 由极限与无穷小关系定理，得lim f(x)A limf(x) 8(x)B lim g(x) ①8 机动目录 下页返回结束

为无穷小 (详见P44) B 2  B +  1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x   定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B +  , 其中  ,  设 B A B A − + + =   ( ) 1 +  = B B (B − A) 无穷小 有界 因此  由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束