同济大学：《线性代数》课程教学资源（课件讲稿）第二章 . 矩阵及其运算

矩阵及其运算 张莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn Department of Mathematics Tongji University 190 张鞘同济大学 1/42

. . 矩阵及其运算 张 莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn Department of Mathematics Tongji University ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 1 / 42

$1矩阵：概念、名称和记号 1.定义(D29:矩库一地形数表 )外任矩形，内出成厅成 2)年行每列又处有一位置，母一位业上放一个数 2一限形式利记号、称呼 世可简记为mx:或(@)成w称为元素 别三#的为行万为的年：年回年上 6价年一 张鞘同济大学 性物 2/42

§1 矩阵：概念、名称和记号 . 1. 定义（p.29）：矩阵——矩形数表 (1) 外框矩形，内部成行成列. (2) 每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数. 2. 一般形式和记号、称呼：   a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   也可简记为 (aij)m×n 或 (aij) 或 A；aij 称为元素. 3. 几类常见矩阵 (1) 1 × 1 阵：等同于数； (2) 1 × n 阵：行矩阵； (3) m × 1 阵：列矩阵； (4) m = n 时：称为 n 阶方阵. 例如：对角阵；单位阵 En； (5) 零矩阵：Om×n (6) 负矩阵：记作 −A. 4. 矩阵相等三条件（p.30） ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 42

$1矩阵：概念、名称和记号 1.定义(p.29):矩阵—矩形数表 ()外框矩形，内部成行成列 (2)每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数 三一限形式利记号、称匹 世可简记为mxa或(@)成：a阳称为元素 3.儿夫馆见地陶 )1×1阵：等同于以 2)1×以年：了明件 3)所×1库：列阵 4)前三：时：承为方阶厅阵例：对角阵：单位阵E: 5零矩库：0mxn 61价矩阵：记作一 张鞘同济大学 性物 2/42

§1 矩阵：概念、名称和记号 . 1. 定义（p.29）：矩阵——矩形数表 (1) 外框矩形，内部成行成列. (2) 每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数. 2. 一般形式和记号、称呼：   a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   也可简记为 (aij)m×n 或 (aij) 或 A；aij 称为元素. 3. 几类常见矩阵 (1) 1 × 1 阵：等同于数； (2) 1 × n 阵：行矩阵； (3) m × 1 阵：列矩阵； (4) m = n 时：称为 n 阶方阵. 例如：对角阵；单位阵 En； (5) 零矩阵：Om×n (6) 负矩阵：记作 −A. 4. 矩阵相等三条件（p.30） ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 42

$1矩阵：概念、名称和记号 1.定义(p.29):矩阵—矩形数表 ()外框矩形，内部成行成列 (2)每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数， 2.一般形式和记号、称呼： a11 ..a1n 也可简记为(a)mxm或(a)或A:a称为元素. am1... amn )1×1阵：等同于数 2)1×以年：了明件 3)所×1库：列阵 4)前三：时：承为方阶厅阵例：对角阵：单位阵E: 5零矩库0xm 61价距阵：记作一 4.矩阵相等三条件(p30 张鞘同济大学 2/42

§1 矩阵：概念、名称和记号 . 1. 定义（p.29）：矩阵——矩形数表 (1) 外框矩形，内部成行成列. (2) 每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数. 2. 一般形式和记号、称呼：   a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   也可简记为 (aij)m×n 或 (aij) 或 A；aij 称为元素. 3. 几类常见矩阵 (1) 1 × 1 阵：等同于数； (2) 1 × n 阵：行矩阵； (3) m × 1 阵：列矩阵； (4) m = n 时：称为 n 阶方阵. 例如：对角阵；单位阵 En； (5) 零矩阵：Om×n (6) 负矩阵：记作 −A. 4. 矩阵相等三条件（p.30） ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 42

$1矩阵：概念、名称和记号 1.定义(p.29):矩阵—矩形数表 ()外框矩形，内部成行成列 (2)每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数， 2.一般形式和记号、称呼： 411 a1n 也可简记为(a)mxm或(a)或A:a称为元素. aml amn 3.几类常见矩阵 (1)1×1阵：等同于数： (2)1×n阵：行矩阵： (3)m×1阵：列矩阵： (4)m=n时：称为n阶方阵.例如：对角阵：单位阵En: (⑤)零矩阵：Omxn (⑥负矩阵：记作一A .矩阵相等三条件(p30 张鞘同济大学 2/42

§1 矩阵：概念、名称和记号 . 1. 定义（p.29）：矩阵——矩形数表 (1) 外框矩形，内部成行成列. (2) 每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数. 2. 一般形式和记号、称呼：   a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   也可简记为 (aij)m×n 或 (aij) 或 A；aij 称为元素. 3. 几类常见矩阵 (1) 1 × 1 阵：等同于数； (2) 1 × n 阵：行矩阵； (3) m × 1 阵：列矩阵； (4) m = n 时：称为 n 阶方阵. 例如：对角阵；单位阵 En； (5) 零矩阵：Om×n (6) 负矩阵：记作 −A. 4. 矩阵相等三条件（p.30） ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 42

$1矩阵：概念、名称和记号 1.定义(p.29):矩阵—矩形数表 ()外框矩形，内部成行成列 (2)每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数， 2.一般形式和记号、称呼： 411 .a1n 也可简记为(a)mxm或(a)或A:a称为元素. aml amn 3.几类常见矩阵 (1)1×1阵：等同于数： (2)1×n阵：行矩阵： (3)m×1阵：列矩阵： (4)m=n时：称为n阶方阵.例如：对角阵：单位阵En: (5)1 零矩阵：Om×n (⑥负矩阵：记作一A 4.矩阵相等三条件(p.30) 张鞘同济大学 2/42

§1 矩阵：概念、名称和记号 . 1. 定义（p.29）：矩阵——矩形数表 (1) 外框矩形，内部成行成列. (2) 每行每列交叉处有一位置，每一位置上放一个数. 2. 一般形式和记号、称呼：   a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   也可简记为 (aij)m×n 或 (aij) 或 A；aij 称为元素. 3. 几类常见矩阵 (1) 1 × 1 阵：等同于数； (2) 1 × n 阵：行矩阵； (3) m × 1 阵：列矩阵； (4) m = n 时：称为 n 阶方阵. 例如：对角阵；单位阵 En； (5) 零矩阵：Om×n (6) 负矩阵：记作 −A. 4. 矩阵相等三条件（p.30） ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 2 / 42

S2矩阵的运算 一.矩阵的加法 1.定义(p.33):矩阵的加法 a11..a1n b11...bin a1+b11...ain +bin = aml·.am bm1...bmn ami +bm...amn +bmn 。可加件条件：4B同雪 。相规州：对应元塔相量 。相加的结果：仍心（同型）地 2矩阵法的若千生项(p33 0月+B=B4 推辑 04+8+C=A+B+ 结合种 3.定义(D33):减法4一B=+一B 张鞘同济大学 3/42

§2 矩阵的运算 一. 矩阵的加法 . 1.  定义（p.33）：矩阵的加法  a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   +   b11 . . . b1n . . . . . . bm1 . . . bmn   :=   a11 + b11 . . . a1n + b1n . . . . . . am1 + bm1 . . . amn + bmn   .1 可加性条件：A, B 同型. .2 相加规则：对应元素相加. 3. 相加的结果：仍是（同型）矩阵. 2. 矩阵加法的若干性质（p.33） .1 A + B = B + A 交换律. .2 (A + B) + C = A + (B + C) 结合律. 3. 定义（p.33）：减法 A − B := A + (−B) 4. 应用：移项法则成立 A + B − C = A − C + B A + B = C + D ⇒ A + B − C = D. ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 42

$2矩阵的运算 一.矩阵的加法 1.定义(p.33):矩阵的加法 011.·.a1n b11...bin a1+b11...ain +bin = aml.·.am bm1...bmn ami bml...amn 6mn ●可加性条件：A,B同型 。相加规则：对应元素相加 。相加的结果：仍是（同型）矩阵 2.矩阵加法的若干性质(p.33) OA+B=B+A 交换律」 ⊙(A+B)+C=A+(B+C©) 结合律 3.定义(p33):成法 4一8=+一B 应用：移项法雨成立 4+B-C=4-C+ +R=C+D4+8-C=D 张鞘同济大学 世代 3/42

§2 矩阵的运算 一. 矩阵的加法 . 1.  定义（p.33）：矩阵的加法  a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   +   b11 . . . b1n . . . . . . bm1 . . . bmn   :=   a11 + b11 . . . a1n + b1n . . . . . . am1 + bm1 . . . amn + bmn   .1 可加性条件：A, B 同型. .2 相加规则：对应元素相加. 3. 相加的结果：仍是（同型）矩阵. 2. 矩阵加法的若干性质（p.33） .1 A + B = B + A 交换律. .2 (A + B) + C = A + (B + C) 结合律. 3. 定义（p.33）：减法 A − B := A + (−B) 4. 应用：移项法则成立 A + B − C = A − C + B A + B = C + D ⇒ A + B − C = D. ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 42

$2矩阵的运算 一.矩阵的加法 1.定义(p.33):矩阵的加法 011.·.a1n b11...bin a1+b11...ain +bin = aml.·.anm bm1...bmn aml +bml...amn +bmn ●可加性条件：A,B同型 。相加规则：对应元素相加 ⊙相加的结果：仍是（同型）矩阵」 2.矩阵加法的若干性质(p.33) OA+B=B+A 交换律」 ⊙(A+B)+C=A+(B+C©) 结合律 3.定义(p.33):减法 A-B:=A+(-B) 4+B-C=4-C+ +R=C+D4+8-C=D 张鞘同济大学 物性色 3/42

§2 矩阵的运算 一. 矩阵的加法 . 1.  定义（p.33）：矩阵的加法  a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   +   b11 . . . b1n . . . . . . bm1 . . . bmn   :=   a11 + b11 . . . a1n + b1n . . . . . . am1 + bm1 . . . amn + bmn   .1 可加性条件：A, B 同型. .2 相加规则：对应元素相加. 3. 相加的结果：仍是（同型）矩阵. 2. 矩阵加法的若干性质（p.33） .1 A + B = B + A 交换律. .2 (A + B) + C = A + (B + C) 结合律. 3. 定义（p.33）：减法 A − B := A + (−B) 4. 应用：移项法则成立 A + B − C = A − C + B A + B = C + D ⇒ A + B − C = D. ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 42

S2矩阵的运算 一.矩阵的加法 1.定义(p.33):矩阵的加法 011.·.a1n b11...bin a1+b11...ain +bin = aml.·.am bm1...bmn aml +bml...amn +bmn ●可加性条件：A,B同型 。相加规则：对应元素相加 ®相加的结果：仍是（同型）矩阵」 2.矩阵加法的若干性质(p.33) OA+B=B+A 交换律」 ⊙(A+B)+C=A+(B+C©) 结合律 3.定义(p.33):减法 A-B=A+(-B) 4.应用：移项法则成立 A+B-C=A-C+B A+B=C+D→A+B-C=D 张销同济大学 性色物 3/42

§2 矩阵的运算 一. 矩阵的加法 . 1.  定义（p.33）：矩阵的加法  a11 . . . a1n . . . . . . am1 . . . amn   +   b11 . . . b1n . . . . . . bm1 . . . bmn   :=   a11 + b11 . . . a1n + b1n . . . . . . am1 + bm1 . . . amn + bmn   .1 可加性条件：A, B 同型. .2 相加规则：对应元素相加. 3. 相加的结果：仍是（同型）矩阵. 2. 矩阵加法的若干性质（p.33） .1 A + B = B + A 交换律. .2 (A + B) + C = A + (B + C) 结合律. 3. 定义（p.33）：减法 A − B := A + (−B) 4. 应用：移项法则成立 A + B − C = A − C + B A + B = C + D ⇒ A + B − C = D. ᕖ㦿 (ੂ⎄ཝᆜ) 线性ԙ数 3 / 42