吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数、极限、连续 §4 无穷大与无穷小

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第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §4 无穷大与无穷小

一、无穷小 定义1.荐x→时，函数f()→0，则称函数() (或x→∞) 为x→x时的无穷小 (或x>o) 例如 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小， x→1 1im1=0.函数上当x→o时为无穷小 x→00X lim 当x→-0时为无穷小 /1-x 机动目 上页下页返回结束

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.若x→x。(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数(x)为x→x,(或x>∞)时的无穷小 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小」 因为 lim =0 =V8>0,38>0 x-今x0 当0<x-x<6时 |C-0<8 显然C只能是0 机动目录 上页下页返回结束

说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+a,其中a为x>x。 x→X0 时的无穷小量 证：lmf(x)=A x-→X0 Vε>0,38>0，当0<x-x08时有 f(x)-A<s C&=f(x)-4 lim a =0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证 机动目录上页下页返回结束

其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x − x0   时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 无穷大 定义2，若任给M>0,总存在δ>0正数X),使对 一切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M 则称函数∫(x)当x→x(x→∞)时为无穷大，记作 lim f(x)=co. (limf(x)=∞) x→X0 若在定义中将①式改为f(x)>M(fx)<-M 则记作 lim f(x)=+0 lim f(x)=-00) x-→x0 X→X0 (x→00 (X→0 机动目号 上页下页返回结束

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x  X ) ( x → ) (lim ( ) =  ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x)  −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意： 1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真 例如，函数f(x)=xC0Sx,x∈(-0，+o) f(2nm)=2nπ>o(当n→o) 但f(径+nπ)=0 y三xCos x 所以x→0时，f(x)不是无穷大！ 8 机动目录 上页下页返回结束

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明1im x>1x-1 证：任给正数M,要使 -1女 只要取6= M 则对满足0M 所以1im =00. x-→1x-1 说明：若1imf(x)=oo,则直线x=x0 x->Xo 为曲线y=∫(x)的铅直近线 新近线 机动目录 上页下页返回结束

例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M  = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中， 若f(x)为无穷大，则 为无穷小； 若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 为无穷大 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 8 机动目司 上页下页返回结束

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 Thl 3.无穷小与无穷大的关系 Th2 作业 P14练习1.2 第五节目录上页下页返回结束

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 作业 P14 练习1.2 第五节 目录 上页 下页 返回 结束