吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章 一元函数微分学 §2 函数的求导法则

第二章 §2离数的求导法则 四则运算求导法则 二、复合函数求导法则 三、初等函数的求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上功 返回 结束

二、复合函数求导法则 三、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §2 函数的求导法则 第二章

思路： f'(x)=lim f(x+△x)-f(x) 构造性定义) △x-→0 △x 本节内容 求导法则 (C)'=0 (sinx)'= cosx 证明中利用了 1 其它基本初等 (Inx)'= 两个重要极限 x 函数求导公式 初等函数求导问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 返回 结束

思路: x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C )  (sin x )  (ln x )  证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、四则运算求导法则 定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (1)[u(x)±v(x)]'=u'(x)士v'(x) (2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) o[ u'(x)v(x)-u(x)v'(x) (v(x)≠0) v2(x) 用导数的定义可以证明以上面的三个公式，这里不予证 明 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

一、四则运算求导法则 定理1. 函数u  u(x)及v  v(x)都在 x具有导数 u(x)及v(x) 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x)  v(x)]  u (x)  v (x) (2) [u(x)v(x)]  u (x)v(x)  u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x            用导数的定义可以证明以上面的三个公式.这里不予证 明. (v(x)  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论： 1)(Cu)y=Cu(C为常数) 2)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw 》sy-g)e ()-g1c为m数) 5)(什v-w)'=u'+v'-w HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上 下返回 结束

推论: 1) (Cu )  2) (uvw)  Cu  u  vw  uv  w  uvw  3) (loga x )         a x ln ln x ln a 1  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 4）   2 v C v v C     ( C为常数 ) 5) (u+v-w)′=u′+v′-w′

例1.y=x(x3-4cosx-sinl),求y'及yx=1 解：y'=(Wx)/(x3-4cosx-sinl) +√x(x3-4cosx-sinl)1 2 (x3-4cosx-sinl)+√x(3x2+4sinx） (1-4cos1-sin1)+(3+4sin1) +sinl-2cosl 2 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上页 下项返回 结束

例1. 解:  4sin x (1 2 1  sin1) ( 4cos sin1) , 3 y  x x  x  . 1   x 求 y 及 y y   ( x )  x  (  4cos  sin1)  2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y  x1   4cos1  (3  4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7    ( 4cos sin1) 3 x  x  ( 4cos sin1) 3 x  x   机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求证(tanx)'=sec2x,(cscx)'=-cscxcotx. 证：((tanx)= =(sin x)'cosx-sinx(cosx) cos-x cos2 x +sin2x =sec2 x 0】 cos-x eY sin2 x sinx =-cscxcotx 类似可证： (cotx)'=-csc2x, (secx)'=secxtanx. HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

(csc x)         sin x 1 x 2 sin   (sin x) x 2 sin  例2. 求证 (tan ) sec , 2 x   x 证: (csc x)  csc x cot x .          x x x cos sin (tan )  x 2 cos (sin x)cos x  sin x (cos x)  x 2 cos x 2 cos x 2  sin x 2  sec  cos x  csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x    x (sec x)  sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、复合函数求导法则 定理2.u=g(x)在点x可导，y=f(u)在点u=g(x) 可导>复合函数y=[g(x)]在点x可导，且 dy=f(u)g'(x) 证：y=f(u)在点u可导，故1im △y=f'(u △u-→0△2W ∴.△y=f'(u)△u+C△u (当△u>0时C→0) 故有 -fw (△x≠0) dy lim dx △x-→0△X -f HIGH EDUCATION PRESS 机动 上 返回 结束

在点 x 可导,        lim x 0 x u x u f u      ( )  x y x y x      0 lim d d 二、复合函数求导法则 定理2. u  g(x) y  f (u) 在点 u  g(x) 可导 复合函数 y  f [ g(x)] 且 ( ) ( ) d d f u g x x y    在点 x 可导, 证:  y  f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u       y  f (u)u u （当 u  0 时  0 ) 故有  f (u)g (x) u y    f (u)  ( ) (  0)          x x u x u f u x y  机动 目录 上页 下页 返回 结束

推广：此法则可推广到多个中间变量的情形， 例如，y=f(u),u=p(v),V=W(x) y dydy du dv dx du dy dx =f'(u)·p'(v)·w'(x) 关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束

例如, y  f (u) , u  (v) , v (x)  x y d d  f (u) (v)(x) y u v x  u y d d  v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求下列导数①)(x“);(2)(x);(3)(shx)' 解：((ey=(eny=en(u1ny=x M xH-l (2)(x*)'=(ex Inx)'=e*Inx.(xlnx)=x*(Inx+1) 6y=(e')==x 2 说明：类似可得 (chx)'=shx; (thx)'=-1. chx' (ax)'axlna. shx= ex-e-x thx shx ax exlna 2 chx HIGH EDUCATION PRESS 机动 上 返回 结束

例3. 求下列导数: (1) (x ); (2) (x ); (3) (sh x).  x 解: (1) ( ) ( ) ln    x x e   x e  ln  ( ln x)   x x   1    x ( ) ( ) ln    x x x x e x x e ln  (xln x) x (2)  x (ln x 1) (3)        2 (sh ) x x e e x 2  x e x e    ch x 说明: 类似可得 (ch x)  sh x ; x x a a e ln  (th x) ( ) x a x x x ch sh th  2 sh x x e e x    ; ch 1 2 x  a ln a . x  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设y=Incos(e),求 dy dx 解： dy aid,tsmye -ex tan(e*) HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上项 下项返回 结束

例4. 设 lncos( ) , x y  e 求 . d d x y 解: x y d d cos( ) 1 x e  ( sin( )) x   e x  e tan( ) x x  e e 机动 目录 上页 下页 返回 结束