吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章（习题课）第二部分 中值定理应用

第二章 第二章总复习 第二部分中值定理及导数的应用 微分中值定理及其应用 二、 导数应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第二章总复习 一、 微分中值定理及其应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 第二部分 中值定理及导数的应用 二、 导数应用

一、微分中值定理及其应用 1.微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f(a)=f(b) 拉格朗日中值定理 f'(5)=0 f5)= f(b)-f(a) b-a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

拉格朗日中值定理 f (a) = f (b) 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 f () = 0 x y o a b y = f (x)  b a f b f a f − −  = ( ) ( ) ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.微分中值定理的主要应用 (1)研究函数或导数的性态 (2)证明恒等式或不等式 (3)证明有关中值问题的结论 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.有关中值问题的解题方法 利用逆向思维，设辅助函数.一 般解题方法 (1)证明含一个中值的等式或根的存在，多用罗尔定理， 可用原函数法找辅助函数 (2)若结论中含两个或两个以上的中值，必须多次应用 中值定理 (3)若已知条件中含高阶导数，有时也可考虑对导数用 中值定理 (4)若结论为不等式，要注意适当放大或缩小的技巧 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 必须多次应用 中值定理 . (3) 若已知条件中含高阶导数 ,有时也可考虑对导数用 中值定理 . (4) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设函数f(x)在(a,b)内可导，且f'(x)≤M, 证明f(x)在(a,b)内有界 证：取点x0∈(a,b),再取异于xo的点x∈(a,b),对 f(x)在以xo,x为端点的区间上用拉氏中值定理，得 f(x)-f(x,)=f'(5)(x-xo)(传界于x与x之间 f(x)=f(xo)+f(5)(x-xo) ≤f(x+f'(5)x-xo ≤f(x)+M(b-a)=K (定数) 可见对任意x∈(a,b),f(x)≤K,即得所证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 ( , ), x0  a b 再取异于 0 x 的点 x(a,b), 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x − f x = f   x − x ( ) ( ) ( )( ) 0 0  f x = f x + f   x − x 0 0  f (x ) + f ( ) x − x ( ) ( )  f x0 + M b − a = K (定数) 可见对任意 x(a,b), f (x)  K , 即得所证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(1)=0,证明至少存在一点5∈(0,1)，使 '(5)=- 2f(5) 证：问题转化为证5f'()+2f(5)=0 设辅助函数 o(x)=x2f(x) 显然p(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，故至 少存在一点5∈(0,1)，使 0'(5)=25f(5)+52f'(5)=0 即有 /'(5=- 2f(5) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 设 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证  f () + 2 f () = 0. 设辅助函数 ( ) ( ) 2  x = x f x 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2   =  f  + f   = 即有 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且 f(0)+f1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在5∈(0,3)，使 f'(5)=0.(03考研) 证：因f(x)在[0,3]上连续，所以在0,2]上连续，且在 [0,2]上有最大值M与最小值m,故 msf0.f0,f2)≤M一m≤f0-f+f2≤M 3 由介值定理，至少存在一点c∈[0,2]，使 f(c)=10+()tf(2) =1 3 .f(c)=f(3)=1,且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导， 由罗尔定理知，必存在∈(c,3)c(0,3),使f'()=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) =1,  (0,3), 使 f () = 0. 分析: 所给条件可写为 1, (3) 1 3 (0) (1) (2) = = + + f f f f (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 m  f (0), f (1), f (2)  M m M f f f   + + 3 (0) (1) (2) 由介值定理, 至少存在一点 c[0,2], 使 3 (0) (1) (2) ( ) f f f f c + + = =1  f (c) = f (3) =1,且 f (x)在[c,3]上连续, 在(c, 3)内可导, 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3)  (0, 3), 使 f () = 0

二、导数应用 1.研究函数的性态 增减，极值，凹凸，拐点，渐近线，曲率 2.解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3.其他应用：求不定式极限； 几何应用； 相关变化率， 证明不等式， 研究方程实根等 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.填空题 (1)设函数f(x)在(-0，+o)上连续， 其导数图形如图所示，则f(x)的 单调减区间为（一”，x)(0,x2) X 单调增区间为(x1,0),(x2,+∞)； 极小值点为 X1,X2 极大值点为 x=0 (x) 提示：根据f(x)的连续性及导函数 的正负作f(x)的示意图 X1O X2 x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

的连续性及导函数 例4. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . f (x) ( , ), (0, ) 1 2 − x x ( , 0), ( , ) x1 x2 +  1 2 x , x x = 0 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; o 2 x 1 x y x o x f (x) 1 x 2 x

(2)设函数f(x)在(-0，+∞)上可导， f"(x)的图形如图所示，则函数f(x)的图 形在区间(，0)，(x,+∞)上是凹弧 在区间 (-∞，x),(0,x2)上是凸弧； 拐点为 (x1,f(x),(x2,f(x2),(0,f(0) 提示：根据f(x)的可导性及∫”(x) 的正负作f(x)的示意图 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

o f (x) x . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 ( , ), (0, ) 1 2 − x x ( , ( )) , ( , ( )), (0, (0)) 1 1 2 2 x f x x f x f 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数 的图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , 0), ( , ) x1 x2 +  f (x) o 2 x 1 x y x 2 x 1 x