吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第四章 多元函数微分学与二重积分

第4章 第四章 多无函数微分学与二重积分 1、多元函数微分学是一元函数微分学的推广 注意：善于类比，区别异同 2、二重积分的性质与计算

第四章 1、多元函数微分学 是一元函数微分学的推广 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学与二重积分 2、二重积分的性质与计算 第4章

第4章 §1多元函数的基本概念 一、了解区域的概念 二、了解多元函数的概念 三、了解多元函数的极限和连续性的概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第4章 §1 一、了解区域的概念 二、了解多元函数的概念 三、了解多元函数的极限和连续性的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念

一、区域 第4章 1.邻域 点集U(P,δ)={PPP<δ，称为点P的8邻域 例如，在平面上 U(,δ)={(x,y)N(x-xo)2+y-%)2<δ圆邻域 在空间中， U(乃，δ)={《(x,y,zN(x-o)2+y-yo)2+(z-2o)2<δ} (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U(P) 点P的去心邻域记为U(P)={P0<PP<δ} HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

0 δ  PP0  一、区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, U( P0 ,δ ) = (x, y)  (圆邻域) 在空间中, U( P0 , ) = (x, y,z)  (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 δ PP0  机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4章

第4章 在讨论实际问题中也常使用方邻域， ,因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 平面上的方邻域为 U(,δ)={(x,y)x-xo<δ，y-yo<δ} HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U(P0 ,δ ) = (x, y)  。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4章

2.区域 第4章 ()内点、外点、边界点 设有点集E及一点P: 若存在点P的某邻域U(P)E, 则称P为E的内点； 若存在点P的某邻域UU(P)∩E=O 则称P为E的外点 ·若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点，则称P为E的边界点 显然，E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 第4章

(2)聚点 第4章 若对任意给定的8，点P的去心 邻域U(P,δ)内总有E中的点，则 ● 称P是E的聚点 聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为 E的边界点) 所有聚点所成的点集成为E的导集 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 ) 第4章

(3)开区域及闭区域 第4章 若点集E的点都是内点，则称E为开集 。E的边界点的全体称为E的边界，记作∂E, 若点集E○∂E,则称E为闭集； 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 则称D是连通的； 连通的开集称为开区域，简称区域； 开区域连同它的边界一起称为闭区域， HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

D (3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • 若点集 E E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。 。 • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 第4章

例如，在平面上 第4章 {(xy)x+y>0} 开区域 {(x,y)1<x2+y2<4} *{(x,y)x+y≥0} 闭区域 ÷{(x,y)1≤x2+y2≤4} 2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如，在平面上 (x, y) x + y  0  ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  (x, y) x + y  0 ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  开区域 闭区域     机动 目录 上页 下页 返回 结束x y o 1 2 x y o x y o x y o 1 2 第4章

第4章 .整个平面是最大的开域， 也是最大的闭域； 点集{(x,y)x>1}是开集 但非区域 对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点 A的距离AP上K,则称D为有界域，否则称为无 界域. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 整个平面  点集 (x, y) x 1 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 −1 o 1 x y • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 第4章

3.n维空间 第4章 n元有序数组(，x2,,xn)的全体称为n维空间 记作R”,即 Rn=RxRX…xR ={(x,x2,…,xnxk∈R,k=1,2,…,n》 n维空间中的每一个元素(：，x2,…,xn)称为空间中的 一个点数x称为该点的第k个坐标 当所有坐标x=0时，称该元素为R”中的零元，记作 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, R , n n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 R = RRR n 一个点, 当所有坐标 称该元素为 n R 中的零元,记作 O . 第4章