吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章 一元函数微分学 §4 隐函数的导数

第二章 §4隐品数的导数 一、 隐函数的导数的概念 二、 隐函数导数的求法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、隐函数的导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §4 隐函数的导数 第二章 二、隐函数导数的求法

一、 隐函数的导数的概念 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y=∫(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=1-x y°+2y-x-3x=0可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y的方程 dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、隐函数的导数的概念 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y  的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、隐函数导数的求法 例1.求由方程y5+2y-x-3x?=0确定的隐函数 y=(x)在x=0处的导数 dy dx x=01 解：方程两边对x求导 d 0y+2y-x-3x2)=0 dx 得 5y4dy+2dy-1-21x=0 dx dx dy1+21x6 dx 5y4+2 因x=0时y=0:故x=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + +  = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、隐函数导数的求法

例2.求椭圆 +广=1在点(2,3)处的切饿方程 16 解：椭圆方程两边对x求导 x.2 8+gy=0 9x √3 x=2 x=2 4 y=3 16y y=33 故切线方程为 3-3-2 即 V3x+4y-8V3=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求y=xmx(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 In y sinx.Inx 两边对x求导 1y=cosx.Inx sinx X xsin (cosx.nsin X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x   =  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： 1)对幂指函数y='可用对数求导法求导 Iny vlnu y=ynu+ y=u(vlnu+" 注意： y'=u"Inu.v'+vu"-!.u 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y  1 = v lnu u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 (a>0b>0,芳1) 两边取对数 Iny=xIng+a[lnb-Inx]+b[Inx-Ina] 两边对x求导 X -8j0eg- HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 =  y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a] 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4设=y(x)由方程e'+xy=e确定，求y'(O), y"(0) 解：方程两边对x求导，得 e'y'+y+xy=0 ① 再求导，得 e'y2+(e'+x)y"+2y'=0 ② 当x=0时，y=1,故由①得 (0)=-1 e 再代入②得 y(0)=e2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 e y  + y + x y  = 0 y 再求导, 得  + 2 e y y e + x y  + y ( ) 2y  = 0 ② 当 x = 0 时, y =1, 故由 ① 得 e y 1 (0) = − 再代入 ② 得 2 1 (0) e y  = 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ①

内容小结 1.隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2.对数求导法 适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

内容小结 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 1.设y=x+ex,求其反函数的导数 解：方法1 dy =1+e dx dx ：1 d v y'l+ex 方法2等式两边同时对y求导 dx dx dx 1 dy l+ex HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 y 求导 备用题 1. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束