吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数、极限、连续 §6 极限存在准则及两个重要极限

第一章 §6极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §6 极限存在准则及 两个重要极限 第一章

函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1. lmf(x)=A二V{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义 x→x0 xn>xo(n→o),有limf(xn)=A n-→o∞ 为确定起见，仅讨论x→x的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0  : n  x , 0 x x n  有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn →  机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1. limf(x)=A.={xn}:xn≠xo,f(xn） X→X0 有定义，且xm→xo(n→o),有1imf(x,)=A 证：“”设limf(x)=A,即Ve>0,38>0,当 x→x0 0N时，有0N时f(xn)-A<E. 故 lim f(n)=A 一”可用反证法证明.（略） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x  x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即   0,   0, 当 有 f (x) − A   .  : n  x , ( ) n 0 n x  x f x 有定义 , 且 对上述  , 时, 有 于是当 n  N 时 f (x ) − A   . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当   x y A    N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.limf(x)=A,一V{xn}:xn≠xo,f(xn)有定义 XX0 (x→∞) 且xn→x(n→oo),有1imf(xn)=A, 1n→o (xn∞） 说明：此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xm≠x,且xn→xo(n→0) 使limf(xm)不存在 1n→0 法2找两个趋于xo的不同数列{xn}及{xn},使 Iimf(xn)≠limf(x) n-→>o0 n→o∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x  x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n  lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列  xn 及  , n x  使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n  f x  → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明 limsin 不存在 x-→0 X 证：取两个趋于0的数列 Xn= 及xn (n=1,2, 2nπ 2nπ+ 有 lim sin- 1【=lim sin2nπ=0 n->o0 Xn n->o∞ lim sin 1 Xn =lim sin(2nπ+)=1 n-→o∞ n-→o 由定理1知1 lim sin上， 不存在 x>0 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1   +  = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x  1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = →  n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数极限存在的夹逼准则 定理2.当x∈U(x,δ)时，g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x>X>0) lim g(x)=lim h(x)=A x今x0 x-→x0 (x-→0】 (x->∞ -lim f(x)=A x今x0 (x→0） (利用定理1及数列的夹逼准则可证) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. ( , ) , 当x x0  时   g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x)  f (x)  h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x  X  0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两个重要极限 sinx 1.1im =1 x>0 x 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 zsinx<x<tanx 故有 1< sin x cos x (0<x<》 sinx 显然有 cOS X< s1n<1(0<x< X 注 sinx lim cosx =1. lim =1 x→0 x→0x HIGH EDUCATION PRESS 注目录上页下页返回结束

1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2  x  x  x  x  (0, ) 2   x 时， (0 ) 2  显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束

tan x 例2.求1im x→0X 解：lim tan x sin x 1 lim x→0 x x→0 x COSX lim sinx lim 1 =1 x→0x x→0COSX 例3.求1im arcsin x x-→0 X 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 原式=lim lim =1 t->0 sint t→0 sint t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求 解: x x x tan lim →0       = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0  =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1-cosx 例4.求1im x→0 x2 解：原式=lim 2sin" x->0 x2 -月 例5.已知圆内接正n边形面积为 A nR2sincos 证明：1imA,=πR2. R 1n-→00 证： lim 4=lim元R2 Sin z n-→o∞ n→o0 cosg=πR2 n 说明：计算中注意利用 lim sing(x) =1 (x)→0 (x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

n n n R   cos sin lim 2 → = R  n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 =  例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n   n n n A nR   sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim       = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.1im(1+)'=e x>00 证：当x>0时，设n≤xo lim(1+)'=e X→+00 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 证: 当 x  0 时, 设 n  x  n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) +  + n n +  + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e e x x x + = →+ lim (1 ) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束