吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 微分方程

第6章 第六章 微分方程 己知y'=f(x),求y一积分问题 推广 已知含y及其若干阶导数的方程，求y 一微分方程问题

第六章 微分方程 已知 y  = f (x),求 y — 积分问题 已知含 y及其若干阶导数的方程 ,求 y — 微分方程问题 推广 第6章

第6章 s1 微分方程的基本概念 了解微分方程及其阶、解、通解、 初始条件和特解的基本概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §1 了解微分方程及其阶、解、通解、 初始条件和特解的基本概念 第6章

第6章 引例. 一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程 解：设所求曲线方程为y=yx),则有如下关系式 y 2x y x=1=2 由①得y=∫2xdx=x2+C (C为任意常数 由②得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

引例. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d = ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y = x + y x=1= 2 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章

微分方程的基本概念 第6章 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,…,ym)=0 或ym=f(x,y,y,…,y-)(n阶显式微分方程) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( )  = n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章

微分方程的解一使方程成为恒等式的函数， 第6章 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 特解一不含任意常数的解，其图形称为积分曲线。 定解条件一 确定通解中任意常数的条件， n阶方程的初始条件（或初值条件） xo)=0,y()=%,,y-》(x)=%-0 =2x 通解：y=x2+C 引例 y1=2 特解：y=x2+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

— 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − =  =  = n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d = 2 y x=1= 引例 y = x +C 通解 2 : 1 2 特解: y = x + 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章

第6章 例1.验证函数x=C coskt+C2sink1(C,C2为常数) 是微分方程 +k2x三0的解。并求满足初始条件 x=0=A,dx 的特解 解： d2x dr1=0=0 =-Ck2 cos kt -C,k2 sin kt =-k2(C]sinkt+C2 coskt)=-k2x 这说明x=C,coskt+C,sinkt是方程的解 C1,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解 利用初始条件易得：C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acoskt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: ( sin cos ) 1 2 2 = −k C kt +C kt 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章

法达女老选溪敦 UNVERSITY CM 146 武等数兴 第一百一十三讲 常微分方程 主讲教师：高彦伟 总课时：124

主讲教师：高彦伟 总课时：124 第一百一十三讲 常 微 分 方 程

第6章 §2 可分离变量微分方程 变量可分离的微分方程 =fxg） dx 解变量可分离方程g(y)dy=f(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §2 解变量可分离方程 g(y)dy = f (x)dx 变量可分离的微分方程 第6章 f (x) g( y) dx dy = 

分离变量方程的解法： 第6章 g(y)dy=f(x)dx 设y=p(x)是方程①的解，则有恒等式 g(p(x))o'(x)dx=f(x)dx 两边积分，得 ∫gy)dy=∫f(x)dx G(y) F(x) 则有 G(Y)=F(x)+C 当Gy)与Fx)可微且G'y)=gy)0时，上述过程可逆 说明由②确定的隐函数y=x)是①的解.同样，当F'(x) =fx)0时，由②确定的隐函数x=y)也是①的解 称②为方程①的隐式通解，或通积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx  f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx  = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章

例1.求微分方程 =3x2y的通解 第6章 解：分离变量得 dy 3x2 dx 说明：在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分 f-jd 变形，因此可能增、 减解 得 In y =x3+C 或 即 y=±ex'+G=±e9e 令C-±eC In y=x3+In C D=Cex3 (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0)》 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章