吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数、极限、连续（习题课）

第一—章 第一丰习题保 品教、教限与莲袜 一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 第一章习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数、极限与连续 第一章

一、函数 1.函数的概念 定义：设DcR,自变量x与因变量x)的对应关系。 f:D f(D)CR 定义域 值域 其中f(D)={yy=f(x),xED} 图形： C={(x,y)y=f(x),x∈D} y↑y=f(x) (一般为曲线) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 自变量x与因变量 f(x)的对应关系。 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数的特性 有界性，单调性，奇偶性，周期性 3.反函数 设函数f:D→f(D) 反函数为 f:f(D)->D 4.复合函数 给定函数链f:D1→f(D) g:D→g(D)cD 则复合函数为f。g:D→f[g(D] 5.初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数， HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 反函数为 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f  g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

歌设数9-{2 3x+1,x<1 求fLf(x)] x≥1 解： - f(x)<1 x<0 f(x)≥1 3(3x+1)+1 9x+4,x<0 3x+1, 0≤x<1 x, x≥1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( )     +  = x x x x f x    f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x  0     = 9x + 4 , x  0 3(3x +1) +1 0  x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数？为什 么 (1)y= sinx-1 不是 (2)y=max{sinx,cosx},x∈[0，] 是 (3)y=arcsinu,u=2+x2 不是 COSX, 提示：2)y={ 0≤x≤牙 sinx, 牙<x≤7 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什 么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2   y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0  cos x,  x  4 2   sin x,  x  是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.下列函数是否为初等函数？为什么？ x,x≥0 or- x≠0 X --, x-1x≠1 =1-vx5,xeR 以上各函数都是初等函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

   +  −  = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x     −  = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x      = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶     −  = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x  0 x  1 xR 例3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?    −   = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设f(x)=e,f[o(x】=1-x,且o(x)≥0，求 0(x)及其定义域 .解x)=e:p-e0 由 ep2(w)=1-x 得 p(x)=Vn(1-x),x∈(-o,0] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x  x  且 求 (x) 及其定义域 . 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x  (x)  (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5.已知f()= x-3, x≥8 f[fx+5,x<8 求f(5) 解：f(5)=f[f(10)]=f(10-3)=f(7)=f[f(12)] =f(12-3)=f(9)=6 6.设f(sinx+)=cse2x-cos2x,求fx) sin x 解m+如x- f(x)=x2-3 =(snx+s2-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

= f[ ] 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x  (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2  f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、连续与间断 1.函数连续的等价形式 lmf(x)=f(xo)三 lim△y=0 X今X0 △x→>0 (△x=x-x,△y=f(x+△x)-f(xo) ·=f(x0)=f(x0)=f(xo) >0,38>0,当x-x<δ时，有 |f(x)-f(x)<6 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 2.函数间断点 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 HIGH EDUCATION PRESS 000 机动目录上页下页返回结束

二、 连续与间断 1. 函数连续的等价形式 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ( , ( ) ( ) ) 0 0 0 x = x − x y = f x + x − f x lim 0 0  =  → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f x = f x + −   0,   0, , 当 x − x0   时 有 ( ) − ( )   0 f x f x 2. 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.闭区间上连续函数的性质 有界定理；最值定理；零点定理；介值定理 a(1-cosx) x0 在x=0连续，则a=2,b= e 提示：f(0)=m a(1-cosx) a x->0 2 f(0)=lim In (b+x2)In b x>0 COSx~ a 2 =1=nb HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . 3. 闭区间上连续函数的性质 例7. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示: 2 0 (1 cos ) (0 ) lim x a x f x − = → − − 2 a = 2 2 1 1− cos x ~ x (0 ) lim ln ( ) 2 0 f b x x = + → + + = ln b b a 1 ln 2 = = 2 e 机动 目录 上页 下页 返回 结束