同济大学：《线性代数》课程教学资源（课件讲稿）第四章 向量组的线性相关性

线性代数一向量组的线性相关性 张莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 同济大学数学系 1903 张鞘同济大学 1131

. . 线性代数 —向量组的线性相关性 张 莉 Email:lizhang@tongji.edu.cn 同济大学 数学系 ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 1 / 31

第四章向量组的线性相关性 基本内容： 。向量组的线性相关性 ©向量组的秩 ⊙线性方程组的解的结构 。向量空间 内容要求： 理解向量的线性表示，掌握向量组的线性相关与线性无关、 向量组的秩和线性方程组解的结构了解向量空间 重点：判断向量组的线性相关性，并掌握一般方法，向量组秩的求 法 难点：向量组的线性相关性的证明，向量空间的概念 张纳同济大学 2131

第四章 向量组的线性相关性 基本޻ᇯ: .1 向量组的线性相关性. .2 向量组的秩. 3. 线性方程组的解的结构. .4 向量空间. ޻ᇯ㾷求: 理解向量的线性表示, 掌握向量组的线性相关与线性无关、 向量组的秩和线性方程组解的结构, 了解向量空间. 䠃⛯: 判断向量组的线性相关性，并掌握一般方法, 向量组秩的求 法. 䳴⛯: 向量组的线性相关性的证明, 向量空间的概念. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 2 / 31

$1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类： 行向量：等同于行矩阵： 列向量：等同于列矩阵： (2).例：解析几何中点的坐标 2.回组间类同重亦称为同型)向量的集合 3.例任一柜阵有一行向量组和一列向量组 运只有加法数呢防为线运一设裤的 张南同济大学 3/31

§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵； 列向量: 等同于列矩阵； (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合；线性表出；线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法；线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31

$1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类： 行向量：等同于行矩阵： 列向量：等同于列矩阵： (2).例：解析几何中点的坐标 2.向量组：同类同维（亦称为同型）向量的集合 3.例任一柜阵有行向量组和一列向量组 .向量的运是（只有）加法和数乘（统称为线性运算一就按照短库的 运早来进行 张南同济大学 3/31

§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵； 列向量: 等同于列矩阵； (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合；线性表出；线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法；线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31

§1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类： 行向量：等同于行矩阵： 列向量：等同于列矩阵： (2).例：解析几何中点的坐标 2.向量组：同类同维（亦称为同型）向量的集合 3.例：任一矩阵有一行向量组和一列向量组 问量的运是（只有）法和数乘统称为线件运算一就按照短库的 运来进行 5,本章前两节内容的华右框 1.三个基本概多：线性组合：线性表出：线性相关（或线性无关 2.一个基本战略矩阵化 3,两个延本方法扶的方法：线性方程组时方法 张南同济大学 性物 3/31

§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵； 列向量: 等同于列矩阵； (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合；线性表出；线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法；线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31

§1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类： 行向量：等同于行矩阵： 列向量：等同于列矩阵： (2).例：解析几何中点的坐标 2.向量组：同类同维（亦称为同型）向量的集合 3.例：任一矩阵有一行向量组和一列向量组 4.向量的运算：（只有）加法和数乘（统称为“线性运算）一就按照矩阵的 运算来进行 5,本章前两节内容的毕右框限 。三个基本概②线性的合：线性表出：线性相关（或线性无关 2.一个基本战略：矩阵化 3,两个延本方法供的方法：线性方程组的方法 张南同济大学 物性色 3/31

§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵； 列向量: 等同于列矩阵； (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合；线性表出；线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法；线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31

§1.1向量与向量组 L.“n维向量”一n元有序数组 (1).分两类 行向量：等同于行矩阵： 列向量：等同于列矩阵： (2).例：解析几何中点的坐标 2.向量组：同类同维（亦称为同型）向量的集合 3.例：任一矩阵有一行向量组和一列向量组 4.向量的运算：（只有）加法和数乘（统称为“线性运算）一就按照矩阵的 运算来进行」 5.本章前两节内容的基本框架： ().三个基本概念：线性组合：线性表出：线性相关（或线性无关） (2).一个基本战略：矩阵化 (③)。两个基本方法：秩的方法：线性方程组的方法 张鞘同济大学 3/31

§1.1 向量与向量组 1. “n 维向量”—n 元有序数组. (1). 分两类: 行向量: 等同于行矩阵； 列向量: 等同于列矩阵； (2). 例: 解析几何中点的坐标. 2. 向量组: 同类同维 (亦称为同型) 向量的集合. 3. 例: 任一矩阵有一行向量组和一列向量组. 4. 向量的运算: (只有) 加法和数乘 (统称为 “线性运算”)— 就按照矩阵的 运算来进行. 5. 本章前两节内容的基本框架: (1). 三个基本概念: 线性组合；线性表出；线性相关 (或线性无关) (2). 一个基本战略: 矩阵化. (3). 两个基本方法: 秩的方法；线性方程组的方法. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 3 / 31

§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和. 1,限形式ka1十性++mdm 些数乘的数，，一m称为此线性组合的系数 2),系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合 2.例 .组中任一向量是该组的线性组合 卫。所是日一国的的非合 以性饵合的业生进合仍性饵合传难性 张鞘同济大学 4131

§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31

§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 (1).一般形式：k1a1十k2a2十·十kmam (那些数乘的数，k2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是“平凡线性组合 2.例 。组中任一向量是该组的线性组合 2),零向量是任一（同型向量组的线性组合 以性饵合的少生强合仍性饵合传性性 张鞘同济大学 4131

§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31

§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 (1).一般形式：k1a1十k2a2十·十kmam (那些数乘的数k1,2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合” 2.例： ().组中任一向量是该组的线性组合 2),零何量是任一（同型）向量组的线性组合 3.线性组合的线性组合仍是线性组合传递性 张鞘同济大学 4/31

§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31